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相关试卷

1、设函数 $f (x) = \frac{a x}{b + x^{2}} (a \neq 0, x > 0)$ ，满足：① $f (1) = \frac{1}{2}$ ；②对任意 $x > 0$ ， $f (x) = f (\frac{1}{x})$ 恒成立．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式．

(2)、设矩形 $A B C D$ 的一边 $A B$ 在 $x$ 轴上，顶点 $C$ ， $D$ 在函数 $f (x)$ 的图象上．设矩形 $A B C D$ 的面积为 $S$ ，求证： $0 < S < 1$ ．

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2、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $A B = 2 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明：BD $⊥$ CC₁；

(2)、棱 $B C$ 上是否存在一点 $E$ ，使得二面角 $E - A D_{1} - D$ 的余弦值为 $\frac{1}{3} ?$ 若存在，求线段 $C E$ 的长；若不存在，请说明理由.

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $c = 5$ ， $2 b \cos C = 2 a - c$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $10 \sqrt{3}$ ，设D是BC的中点，求 $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D}$ 的值．

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4、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的单调函数， $f [f (x) - 2^{x}] = 3$ 对 $x \in R$ 恒成立，则 $f (3)$ 的值为．

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5、已知过原点O的直线与 $y = \log_{3} x$ 交于A，B两点（A点在B点左侧），过A作x轴的垂线与函数 $y = 4^{x}$ 交于C点，过B点作x轴的垂线与函数 $y = 2^{x}$ 交于D点，当 $C D$ 平行于x轴时，点A的横坐标为.

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6、定义运算 $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = a d - b c$ 则不等式 $|\begin{matrix} a x & 1 \\ 1 & x + 1 \end{matrix}| < 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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7、已知函数 $f (x) = 1 g (\sqrt{x^{2} + 1} + x) + e^{x} - e^{- x} + 1 (e \approx 2.7...)$ ，若不等式 $f (\sin θ + \cos θ) < 2 - f (\sin 2 θ - t)$ 对任意 $θ \in R$ 恒成立，则实数t的可能取值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、4

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8、已知函数 $f (x) = a \sin x - \cos 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象不可能关于点 $(π, 0)$ 对称 C、当 $a = - 2$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、若函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上存在零点，则实数a的取值范围是 $(- 1, + \infty)$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} \cdot a_{n} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{2024}$ 等于（）

A、 $2^{2024} - 1$ B、 $3 \times 2^{1012} - 1$ C、 $3 \times 2^{1012} - 2$ D、 $3 \times 2^{1012} - 3$

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10、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于A，B两点，且 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 0$ ， $\vec{A B} = 4 \vec{F_{2} B}$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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11、如图，已知 $A (1, 0)$ ， $B (0, 1)$ ，点C在函数 $y = a^{x}$ 的图象上，点D在函数 $y = \log_{a} x$ 的图象上，若四边形 $A B C D$ 为正方形，则 $a =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、4

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12、“ $x^{2} \leq x$ ”是“ $\frac{1}{x} \geq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、设集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x \in N| x^{2} - 5 x + 4 \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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14、设函数 $f (x) = a^{|x|} + \frac{2}{a^{x}}$ （其中常数 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、若常数 $m > 3$ ，当 $a = 10$ 时，解关于x的方程 $f (x) = m$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 2]$ 上存在最小值，且最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围.

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15、对于定义域为 $I$ 的函数 $f (x)$ ，如果存在区间 $[m, n] \subseteq I$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上是单调函数，且函数 $y = f (x)$ ， $x \in [m, n]$ 的值域是 $[m, n]$ ，则称区间 $[m, n]$ 是函数 $f (x)$ 的一个“优美区间”.

(1)、判断函数 $y = x^{2} + 2 x (x \in R)$ 和函数 $y = 1 - \frac{2}{x} (x > 0)$ 是否存在“优美区间”?如果存在，写出一个符合条件的“优美区间”.（直接写出结论，不要求证明）

(2)、如果 $[m, n]$ 是函数 $f (x) = \frac{(a + 1) x - \frac{1}{a}}{a x} (a \neq 0)$ 的一个“优美区间”，求 $n - m$ 的最大值.

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16、第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（ $0 < a \leq 4$ 且 $a \in R$ ）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为 $y = a f (x)$ ，其中 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1 + x}{7 - x}, x \in [0, 5] \\ \frac{11 - x}{2}, x \in (5, 11] \end{array}$ ，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效.

(1)、若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？

(2)、若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续有效，试求m的最小值.

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17、已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - \ln (1 - x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、解不等式： $f (2 x - 1) + \ln 3 > 0$ .

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18、设集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0\}$ ，集合 $B = \{x ∣ x^{2} + (a - 1) x + a^{2} - 5 = 0\}$ ．

(1)、若 $A \cap B = \{2\}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、（1） ${(5 \frac{4}{9})}^{0.5} + {(0.1)}^{- 2} + {(2 \frac{10}{27})}^{\frac{2}{3}} - 100 π^{0}$ ；
（2）已知 $x + y = 11$ ， $x y = 9$ ，求 $\frac{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ 的值.

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20、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} + 1$ ，且 $f (2 a) + f (b) = 2 (a > - 1, b > 0)$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{2}{b}$ 的最小值是.

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