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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .向量 $\vec{p} = (a + c, b)$ ， $\vec{q} = (b - a, c - a)$ .若 $\vec{p} / / \vec{q}$ ，则角 $C$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 在线段 $B D_{1}$ 上运动（包括端点），下列选项正确的有（）

A、 $A P ⊥ B_{1} C$ B、 $P D ⊥ B C$ C、直线 $P C_{1}$ 与平面 $A_{1} B C D_{1}$ 所成角的最大值是 $\frac{π}{3}$ D、 $P C + P D$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$

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3、某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值： $[45, 55), [55, 65), [65, 75), [75, 85), [85, 95]$ .根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，并把质量指标值不小于80的产品称为 $A$ 等品，其它产品称为 $B$ 等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差 $s$ 的近似值为11，用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $μ$ 的近似值，用样本标准差 $s$ 作为 $σ$ 的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为 $A$ 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) \approx 0.9973$ . )

(2)、（i）从样本的质量指标值在 $[45, 55)$ 和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为 $η$ ，求 $η$ 的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件 $A$ 等品芯片的利润是 $m (1 < m < 24)$ 元，一件 $B$ 等品芯片的利润是 $\ln (25 - m)$ 元，根据(1)的计算结果，试求 $m$ 的值，使得每箱产品的利润最大.

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4、二项式 ${(x - y)}^{6}$ 的展开式中 $x^{4} y^{2}$ 的系数为.

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5、已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 满足 $f (2 + x) + g (- x) = 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 1)$ 对称 B、 $f (x)$ 是以8为周期的周期函数 C、 $g (x + 8) = g (x)$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (4 k - 2) = 2025$

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6、平面直角坐标系中有 $n$ 只蚂蚁，分别位于点 $P_{1} (1, 0), P_{2} (2, 0), \dots, P_{n} (n, 0)$ ．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量 $X$ 为一次操作后 $P_{i}$ （ $1 \leq i \leq n$ 且 $i \in N^{*}$ ）中的“空点”数目．

(1)、若 $n = 2$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、定义随机变量 $Y_{i} = \{\begin{array}{l} 1, 若一次操作后 P_{i} 为 “ 空点 ” \\ 0, 若一次操作后 P_{i} 不为 “ 空点 ” \end{array}$ ，当 $n \geq 3$ 时，求 $Y_{i}$ 的分布列与期望 $E (Y_{i})$ ；

(3)、当 $n \geq 3$ 时，求 $n$ 的最小值，使得 $E (X) < \frac{5}{8} n$ ．
（参考公式：若 $ξ = η_{1} + η_{2} + \dots + η_{n}$ ，则 $E (ξ) = E (η_{1}) + E (η_{2}) + \dots + E (η_{n})$ ）

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7、在科技飞速发展的今天，人工智能领域迎来革命性的突破.类似于OpenAI的人工智能大模型不仅具有高度智能化、自主化和自适应的特点，它们的学习能力和信息储存能力也远远超越人类，更是拥有强大的语音识别和语言理解能力.某机构分别用 $A$ ， $B$ 两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠，从某知识领域随机选取180个问题进行分组回答，其中 $A$ 人工智能大模型回答100个问题，有90个正确； $B$ 人工智能大模型回答剩下的80个问题，有65个正确.

(1)、完成下列 $2 \times 2$ 列联表，并根据小概率值 $α = 0.10$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否判断人工智能大模型的选择和回答正确有关？
回答正确
回答错误
合计
$A$ 人工智能大模型
$B$ 人工智能大模型
合计

(2)、将频率视为概率，用 $A$ 人工智能大模型回答该知识领域的3道题目，且各题回答正确与否，相互之间没有影响，设回答题目正确的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
参考公式及参考数据： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.15
0.10
0.05
0.010
$x_{0}$
2.072
2.706
3.841
6.635

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8、某手机企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，统计了近10年投入的年研发费用 $x$ 千万元与年销售量 $y$ 千万件的数据，得到散点如图，对数据作出如下处理：令 $u_{i} = \ln x_{i}, v_{i} = \ln y_{i}$ ，得到相关统计量的值如表：
$\sum_{i = 1}^{10} u_{i} v_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} u_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} ν_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} u_{i}^{2}$
30.5
15
15
46.5
附：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、利用散点图判断 $y = b x + a$ 和 $y = c \cdot x^{d} (c > 0, d > 0)$ 哪一个更适合作为年研发费用 $x$ 和年销售量 $y$ 的回归类型（不必说明理由），并根据数据，求出 $y$ 与 $x$ 的回归方程；

(2)、已知企业年利润千万元与 $x, y$ 的关系式为 $z = \frac{27}{e} y - x$ （其中为自然对数的底数），根据（1）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？

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9、杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列： $1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1 ， 1 ， 4 ， 6 ， 4, 1, \dots$ .记作数列 $\{a_{n}\}$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{68} =$ .

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10、设 ${(x - 1)}^{6} = a_{0} + a_{1} (x - 2) + \dots + a_{6} {(x - 2)}^{6}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{6} =$ .

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11、某班有40名学生，一次考试后数学成绩 $X$ 服从正态分布 $N (115, σ^{2})$ ，若 $P (110 < X \leq 115) = 0.3$ ，则估计该班学生数学成绩不低于 $120$ 分的人数为．

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12、已知函数 $f (x) = x (e^{x} + 2), g (x) = (x + 2) ln x$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、若对任意 $x > 0$ ，不等式 $f (a x) \geq f (ln x^{2})$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为 $\frac{2}{e}$ C、函数 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上存在极值点 D、若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t (t > 0)$ ，则 $\frac{ln t}{x_{1} (x_{2} + 2)}$ 的最大值为 $\frac{1}{e}$

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13、下列选项中正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (10, \frac{1}{2})$ ，则 $D (2 X) = 5$ B、口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量 $X$ ，则 $X$ 的数学期望 $E (X) = \frac{7}{5}$ C、对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是 $\frac{5}{13}$ D、某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次

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14、已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是（）

A、若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法 B、若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同的排队方法 C、若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法 D、若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法

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15、在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数 $f (x)$ ，存在一个点 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，那么我们称 $f (x)$ 为“不动点”函数．若 $f (x)$ 存在 $n$ 个点 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，满足 $f (x_{i}) = x_{i}$ ，则称 $f (x)$ 为“ $n$ 型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（）

A、 $f (x) = 1 - ln x$ B、 $f (x) = 5 - ln x - e^{x}$ C、 $f (x) = \frac{4 e^{x - 2}}{x}$ D、 $f (x) = 2 sin x + 2 cos x$

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16、已知三家公司同时生产某一产品，它们的市场占有率分别为20%，30%，50%，且对应的次品率为1%，2%，3%，则该产品的次品率为（）

A、2.3% B、3.3% C、1.3% D、3%

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17、若函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + a \ln x$ 在 $(0, 1)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 4$ B、 $a \geq 4$ C、 $a \leq - 4$ D、 $a \geq - 4$

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18、现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，则在已知抽到两名同学性别相同的条件下，抽到两名女同学的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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19、设随机变量 $β \sim N (0, σ^{2})$ ， $P (β < - 2) = 0.3$ ，则函数 $f (x) = x^{2} - β x + 1$ 无零点的概率为（）

A、0.3 B、0.4 C、0.6 D、0.7

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20、二项式 ${(2 x + \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为（）

A、448 B、900 C、1120 D、1792

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	回答正确	回答错误	合计
$A$ 人工智能大模型
$B$ 人工智能大模型
合计

$\sum_{i = 1}^{10} u_{i} v_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} u_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} ν_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} u_{i}^{2}$
30.5	15	15	46.5

$α$	0.15	0.10	0.05	0.010
$x_{0}$	2.072	2.706	3.841	6.635