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相关试卷

1、设 $A, B, C, D$ 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{A D} = 0$ ， $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = 0$ ，用 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 分别表示 $△ A B C$ 、 $△ A C D$ 、 $△ A B D$ 的面积，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3}$ 的最大值是.

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2、已知向量 $\vec{a} = (2, 2)$ ， $\vec{b} = (3, 3 m - 2)$ ， $\vec{c} = (- 2, 2 - 2 m)$ . 若 $\vec{a} / / (\vec{b} + \vec{c})$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

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3、如图，已知 $P A ⊥ α$ ， $P B ⊥ β$ ，垂足为 $A$ 、 $B$ ，若 $∠ A P B = 60 °$ ，则二面角 $α - l - β$ 的大小是．

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，内角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ 且 $B D = \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = 1$ B、 $b$ 的最小值是2 C、 $a + 3 c$ 的最小值是 $4 \sqrt{3}$ D、 $△ A B C$ 的面积最小值是 $\sqrt{3}$

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5、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P，Q分别是棱 $A A_{1}, C C_{1}$ 的中点，平面 $D P Q \cap$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} = l$ ，则下列结论中不正确的有（）

A、l过点 $B_{1}$ B、l不一定过点 $B_{1}$ C、 $D P$ 的延长线与 $D_{1} A_{1}$ 的延长线的交点不在l上 D、 $D Q$ 的延长线与 $D_{1} C_{1}$ 的延长线的交点在l上

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6、下面四个命题正确的是( )

A、若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} \in R$ ，则 $z \in R$ B、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，满足 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} \bar{z_{1}} = z_{2} \bar{z_{2}}$ D、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$

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7、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\tan (B + C) = \tan \frac{A}{2}$ ，且 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8、在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，R是△ABC的外接圆半径，且 $b + a \cos C + c \cos A = 2 \sqrt{2} R$ ，则B＝（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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9、复数 $z = i^{2022} + \frac{|3 + 4 i|}{3 + 4 i}$ ，则 $z$ 共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{4}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{5} i$ D、 $\frac{4}{5}$

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10、已知在边长为 $2$ 的正三角形 $A B C$ 中， $M$ ､ $N$ 分别为边 $B C$ ､ $A C$ 上的动点，且 $C N = B M$ ，则 $\overset{⃑}{A M} \cdot \overset{⃑}{M N}$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{7}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11、平面α，β，γ不能将空间分成（　　）

A、5部分 B、6部分 C、7部分 D、8部分

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12、设 $A 、 B 、 C 、 D$ 是某长方体四条棱的中点，则直线 $A B$ 和直线 $C D$ 的位置关系是（）.

A、相交 B、平行 C、异面 D、无法确定

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13、已知向量 $|\overset{⃑}{a}| = 2$ ， $|\overset{⃑}{b}| = 1$ ，且 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $45 °$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 在 $\overset{⃑}{b}$ 方向上的投影为（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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14、若函数 $f (x)$ 满足以下三个条件，则称 $f (x)$ 为 $S G - L$ 函数.①定义域为 $N^{*}$ ；②对任意 $x \in N^{*}$ ， $f (x) \in N^{*}$ ；③对任意正整数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} + x_{2} \geq 3$ 时，有 $(f (x_{1} + x_{2}) - f (x_{1}) - f (x_{2})) (f (x_{1} + x_{2}) - f (x_{1}) - f (x_{2}) - 1) \leq 0$ .若给定 $S G - L$ 函数 $f (x)$ 某几个函数值，在满足条件①②③的情况下，可能的 $f (x)$ 如果有 $k$ 种，分别为 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $f_{k} (x)$ .
那么我们记 $F (n)$ 等于 $f_{1} (n)$ ， $f_{2} (n)$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $f_{k} (n)$ 的最大值.这样得到的 $F (x)$ 称为 $f (x)$ 的最大生成函数.

(1)、若 $f (x)$ 为 $S G - L$ 函数，且 $F (x)$ 是在给定条件 $f (1) = 1$ ， $f (3) = 5$ 下的 $f (x)$ 的最大生成函数，求 $f (2)$ 和 $F (4)$ 的值；

(2)、若 $g (x)$ 为 $S G - L$ 函数，且满足 $g (1) = g (2) = 1$ ，求数列 $\{2^{g (n)}\}$ 的前10项和；

(3)、若 $h (x)$ 为 $S G - L$ 函数，且 $H (x)$ 是在给定条件 $h (1) = 1$ ， $h (2) = 2$ 下的 $h (x)$ 的最大生成函数，求数列 $\{H (n)\}$ 的前 $n$ 项和.

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15、如图，双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{4 a^{2}} - \frac{y^{2}}{4 b^{2}} = 1$ 的左､右顶点，过点 $F_{1}$ 的直线分别交双曲线 $C_{1}$ 的左､右两支于 $A, B$ 两点，交双曲线 $C_{2}$ 的右支于点 $M$ （与点 $F_{2}$ 不重合），且 $△ B F_{1} F_{2}$ 与 $△ A B F_{2}$ 的周长之差为2.

(1)、求双曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $M F_{2}$ 交双曲线 $C_{1}$ 的右支于 $D, E$ 两点.
①记直线 $A B$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $D E$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值；
②试探究： $|D E| - |A B|$ 是否为定值？并说明理由.

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16、已知函数 $f (x) = x e^{a - \frac{1}{2} x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x) = |f (x) + e^{- 2} a|, x \in (0, + \infty)$ 存在最大值，求 $a$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = \log_{a} (\frac{m}{x} - 1)$ 的图象恒过定点 $(1, 0)$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ．

(1)、求实数 $m$ 的值，并研究函数 $y = f (x + 1)$ 的奇偶性；

(2)、函数 $g (x) = \log_{a} (x + \frac{k^{2} + k + 2}{x} - 2 (k + 1))$ ，关于x的方程 $f (x) = g (x)$ 恰有唯一解，求实数 $k$ 的范围．

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18、一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入 $x$ （单位：千万元）对每件产品成本 $y$ （单位：元）的影响，对近 $10$ 年的年技术创新投入 $x_{i}$ 和每件产品成本 $y_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ 的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得： $\bar{x} = 6.8$ ， $\bar{y} = 70$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{x_{i}} = 3$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{x_{i}^{2}} = 1.6$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{y_{i}}{x_{i}} = 350$ .

(1)、根据散点图可知，可用函数模型 $y = \frac{b}{x} + a$ 拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，试建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(2)、已知该产品的年销售额 $m$ （单位：千万元）与每件产品成本 $y$ 的关系为 $m = - \frac{y^{2}}{500} + \frac{2 y}{25} + \frac{200}{y - 10} + 100$ .该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本 $10$ 千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入 $x$ 为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润=年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据 $(u_{1}, v_{1})$ 、 $(u_{2}, v_{2})$ 、 $\dots$ 、 $(u_{n}, v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小乘估计分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

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19、设函数 $f (x) = |2 x^{2} - a x + 1| + a x^{2}$ ，若函数 $y = f (x)$ 与直线 $y = a x$ 有两个不同的公共点，则 $a$ 的取值范围是.

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20、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的单调增函数，且满足 $f (- 1 - x) + f (x) = - 7$ ，若对于任意非零实数 $x$ 都有 $f [f (x) + \frac{1}{f (x) + 3} - x - \frac{1}{x} + 2] = - 4$ ，则 $f (2024) =$ .

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