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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = {(a + i)}^{2}$ ， $z_{2} ＝ 4 - 3 i$ ，其中a是正实数．

(1)、若 $z_{1} ＝ i z_{2}$ ，求实数a的值；

(2)、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是纯虚数，求a的值．

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2、在平行四边形 $A B C D$ 中， $|\vec{A D}| = \sqrt{2}$ ，向量 $\vec{A D}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影为1，且 $\vec{B D} \cdot \vec{D C} = 0$ ，点 $P$ 在线段 $C D$ 上，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为．

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3、在 $△ A B C$ 中，令 $\vec{C B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，若 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{e_{1}}$ ， $\vec{a} - 2 \vec{b} = \vec{e_{2}}$ ， $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = 1$ ， $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的 $A B$ 边上的中线长为．

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4、若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2 + i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为.

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB的中点，且 $a (\sin A - \sin B) = (c - b) (\sin B + \sin C)$ ， $c = 2$ ，则（）．

A、 $C = \frac{π}{6}$ B、 $△ A B C$ 面积的取值范围为 $(0, \sqrt{3}]$ C、 $△ A B C$ 周长的取值范围为 $(4, 6]$ D、CD长度的取值范围为 $(1, \sqrt{3}]$

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6、下列说法正确的是（）

A、 $| | \vec{a} | - | \vec{b} | | \leq | \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$ B、在 $△ A B C$ 中，若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰直角三角形 C、在 $△ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“ $sin A > sin B$ ”的充要条件 D、已知平面内的一组基底 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ ，则向量 ${\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}$ 也能作为一组基底

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7、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是边 $B C$ 的中点，且 $A D = 4$ ，点 $E$ 满足 $\vec{B E} = \sin^{2} θ \cdot \vec{B A} + \frac{1}{2} \cos^{2} θ \cdot \vec{B C}$ （ $θ \in R$ ），则 $(\vec{E B} + \vec{E C}) \cdot \vec{E A}$ 的最小值为（）

A、 $- 10$ B、 $- 8$ C、 $- 6$ D、 $- 4$

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8、在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $∠ B = 45^{°} ， A B = 2 C D = 2$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，则 $\overset{⇀}{M A} \cdot \overset{⇀}{M D} =$

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (\sin α, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，若向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量 $\vec{c} = (\frac{1}{2}, 0)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、3 D、7

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10、已知向量 $\vec{a} = (m, 3)$ ， $\vec{b} = (1, m)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相反，则 $|\vec{a} - \sqrt{3} \vec{b}| =$ （）

A、54 B、48 C、 $3 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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11、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 3, B = 60 °$ ，则 $\cos C$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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12、向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则（）

A、 $x = \frac{1}{2}$ B、 $x = - \frac{1}{2}$ C、 $x = 2$ D、 $x = - 2$

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13、设非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，定义运算 $\vec{a} * \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ$ .下列叙述正确的是（）

A、若 $\vec{a} * \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$ B、若 $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| = 1$ ，则 ${(\vec{a} * \vec{b})}_{\min} = - 1$ C、设在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $2 S_{△ A B C} = \vec{a} * \vec{b}$ D、 $\vec{a} * (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} * \vec{b} + \vec{a} * \vec{c}$ （ $\vec{c}$ 为任意非零向量）

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14、设 $z = \sqrt{2} i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、2

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15、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点，且 $\vec{A E} \cdot \vec{A C} = 9$ ．

(1)、求 $cos ∠ A E B$ ；

(2)、以 $A$ 为圆心，2为半径作圆弧，点 $P$ 是弧 $D B$ 上的一点，求 $\vec{P C} \cdot \vec{P B}$ 的最小值．

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}, C A = C B = 1$ ，侧棱 $A A_{1} = 2$ ， $D, E$ 分别是 $C C_{1}, A_{1} B$ 的中点.

(1)、证明： $D E$ $∥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求点 $D$ 到平面 $B C E$ 的距离.

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17、已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = (m^{2} - 5 m + 6) + (m^{2} - 2 m) i$ ， $m \in R$ ．

(1)、当复数 $z$ 为实数时，求 $m$ 的值；

(2)、当复数 $z$ 为纯虚数时，求 $m$ 的值；

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18、如图为清代官员夏日所用官帽､凉帽的形制，无檐，形如圆锥，俗称喇叭式．材料多为藤､竹制成．外裹绫罗，多用白色，也有用湖色､黄色等．不同型号的官帽大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量．现有一个官帽，帽坡长 $20 cm$ ，帽底宽 $20 \sqrt{3} cm$ ，关于此官帽，下面说法正确的是（）

A、官帽轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 $120 °$ B、过官帽顶点和官帽侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为 $100 \sqrt{3} {cm}^{2}$ C、若此官帽顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为 $1600 {πcm}^{2}$ D、此官帽放在平面上，可以盖住的球（保持官帽不变形）的最大半径为 $(20 \sqrt{3} - 30) cm$

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19、已知 $α, β$ 是两个不重合的平面， $m, n$ 是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（）

A、如果 $m ⊥ n, m ⊥ α, n$ $∥$ $β$ ，那么 $α ⊥ β$ B、如果 $m ⊥ α, n$ $∥$ $α$ ，那么 $m ⊥ n$ C、如果 $α$ $∥$ $β, m \subset α$ ，那么 $m$ $∥$ $β$ D、如果 $m$ $∥$ $n, α$ $∥$ $β$ ，那么 $m$ 与 $α$ 所成的角和 $n$ 与 $β$ 所成的角相等

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b cos C = c cos B$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、等腰三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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