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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $z + 2 \bar{z} = 3 + 4 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $1 - 4 i$ B、 $6 - 4 i$ C、 $6 - 2 i$ D、 $3 - 2 i$

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2、如图，已知四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，侧棱 $S D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $S D = 4, E$ 为侧棱 $S C$ 的中点．

(1)、求证： $S A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、求三棱锥 $E - A B D$ 的体积．

(3)、若F为侧棱 $A B$ 的中点，求证： $E F / /$ 平面 $S A D$ ．

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3、现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 $P - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，下部的形状是正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ (如图所示)，并要求正四棱柱的高 $O_{1} O$ 是正四棱锥的高 $P O_{1}$ 的4倍.

(1)、若 $A B = 6 m$ ， $P O_{1} = 2 m$ ，则仓库的容积是多少？

(2)、若正四棱锥的侧棱长为 $6 m$ ，当 $P O_{1}$ 为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, m)$ ，则（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $m = - \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为-5 C、若 $m = 2$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| = 2 \sqrt{5}$ D、若 $m = - 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°

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5、我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D, B C ⊥ C D$ ．

(1)、证明：三棱锥 $A - B C D$ 为鳖臑；

(2)、若 $E$ 为 $A D$ 上一点，点 $P, Q$ 分别为 $B C, B E$ 的中点．平面 $D P Q$ 与平面 $A C D$ 的交线为 $l$ ．
①证明：直线 $P Q / /$ 平面 $A C D$ ；
②判断 $P Q$ 与 $l$ 的位置关系，并证明你的结论．

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6、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c - b = 2 c {sin}^{2} \frac{A}{2}$

(1)、试判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、若 $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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7、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别是 $B C_{1}$ ， $C D_{1}$ 的中点.

(1)、求异面直线 $C D_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角；

(2)、求证： $M N //$ 平面 $A B C D$

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8、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列对 $△ A B C$ 的个数的判断正确的是（）

A、当 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $A = 30 °$ ， $C = 45 °$ 时，有两解 B、当 $a = 5$ ， $b = 7$ ， $C = 60 °$ 时，有一解 C、当 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 1$ ， $A = 30 °$ 时，有一解 D、当 $a = 6$ ， $b = 4$ ， $A = 60 °$ 时，有两解

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，点 $P (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆C上．且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线 $A F$ 和直线 $B F$ 关于PF对称．
（i）证明：直线l过定点；
（ⅱ）求 $△ A B F$ 面积的最大值．

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10、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A B ⊥ A D, A B = A D = 8, P A = 6$ ，平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A C, M, N$ 分别为 $P B, P D$ 的中点．

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、证明： $B C ⊥ A C$ ．

(3)、若二面角 $C - P B - A$ 的正切值为 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ ，求三棱锥 $C - P A D$ 的体积．

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11、设 $a = {log}_{5} 2$ ， $b = {log}_{25} 3$ ， $c = {0.6}^{0.2}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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12、质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{10}{11}$ B、 $\frac{9}{11}$ C、 $\frac{13}{15}$ D、 $\frac{41}{45}$

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13、设椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，若 $m \in (2, 8)$ ，则（）

A、 $e_{1} e_{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$ B、 $e_{1} e_{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $e_{1} e_{2}$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ D、 $e_{1} e_{2}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$

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14、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $M$ ， $N$ ， $G$ 分别是棱 $A A_{1}$ ， $B C$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，设 $Q$ 是该正方体表面上的一点，若 $\overset{⃑}{M Q} = x \overset{⃑}{M G} + y \overset{⃑}{M N} (x, y \in R)$ ，则点 $Q$ 的轨迹围成图形的面积是； $\overset{⃑}{M G} \cdot \overset{⃑}{M Q}$ 的最大值为．

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15、 $A$ ， $B$ 两班共100人，现采取分层随机抽样的方法抽取10人的样本进行问卷调查，若样本中有4人来自 $A$ 班，则 $B$ 班的人数为.

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16、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, C A ⊥ C B, ∠ A O C = \frac{π}{3}$ ，点 $O$ 在棱 $A B$ 上且是 $A B C$ 的外心（三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心即外接圆的圆心），点 $G$ 是 $△ A O C$ 的内心（三角形的内心是三角形三条角平分线的交点即内切圆的圆心）， $P A = A B = 2$ .

(1)、求证：平面 $O P G ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求二面角 $P - O G - B$ 的正弦值.

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17、在如图的多面体中，已知 $A B C D$ 为矩形， $A B F E$ 和 $D C F E$ 为全等的等腰梯形， $A B = 4$ ， $B C = A E = E F = 2$ ．

(1)、求此多面体的表面积；

(2)、求此多面体的体积．

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $(2 a - c) \vec{B A} \cdot \vec{B C} = c \vec{C B} \cdot \vec{C A}$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ 的取值范围．

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19、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， M，N ，Q ，P 分别是AB ，BC ， $C C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点．
（1）证明：M，N ，Q ，P 四点共面．
（2）证明：PQ，MN ，DC三线共点．

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20、平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知向量 $\vec{A B} = (6, 1), \vec{B C} = (x, y), \vec{C D} = (- 2, - 3)$ ，且 $\vec{A D} / / \vec{B C}$ ．
（1）求 $x$ 与 $y$ 之间的关系式；
（2）若 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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