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相关试卷

1、“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该多面体外接球的表面积为．

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2、已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东 $30 °$ 的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为60n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东 $45 °$ 的方向上，则此时A，B两船相距n mile．

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3、如图，网格纸上小正方形的边长为 $1$ ，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} (λ, μ \in R)$ ，则 $λ + μ =$ ．

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4、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点， $Q$ 点在侧面 $A B B_{1} A_{1}$ （包括边界）上运动，且 $D Q$ ∥平面 $P C D_{1}$ ，下面结论正确的是（）

A、 $Q$ 点的运动轨迹为一条线段 B、直线 $D Q$ 与 $A D$ 所成角可以为 $\frac{π}{4}$ C、三棱锥 $P - C D_{1} Q$ 的体积是定值 D、若正方体的棱长为1，则平面 $P C D_{1}$ 与正方体的截面的面积为 $\frac{9}{8}$

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5、给定两个不共线的空间向量 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ ，定义叉乘运算： $\overset{⃑}{a} \times \overset{⃑}{b}$ 规定：① $\overset{⃑}{a} \times \overset{⃑}{b}$ 为同时与 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 垂直的向量；② $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{a} \times \overset{⃑}{b}$ 三个向量构成右手系(如图1)；③ $|\overset{⃑}{a} \times \overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{a}| |\overset{⃑}{b}| \sin ⟨\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}⟩$ 如图2，在长方体中 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = A D = 2, A A_{1} = 4$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\overset{⃑}{A B} \times \overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{A A_{1}}$ B、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积 $V = (\overset{⃑}{A B} \times \overset{⃑}{A D}) \cdot \overset{⃑}{C C_{1}}$ C、 $\overset{⃑}{A B} \times \overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{A D} \times \overset{⃑}{A B}$ D、 $(\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A D}) \times \overset{⃑}{A A_{1}} = \overset{⃑}{A B} \times \overset{⃑}{A A_{1}} + \overset{⃑}{A D} \times \overset{⃑}{A A_{1}}$

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6、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， E是 $B C$ 边中点，线段AE长为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $D$ 是 $B C$ 边上一点， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线，则 $A D =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、2 D、 $\sqrt{3}$

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7、甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为 $\frac{1}{4}$ ，乙能破译密码的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则这份密码被成功破译的概率为（）

A、 $\frac{11}{12}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8、甲，乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用 $\bar{x_{1}}$ 和 $\bar{x_{2}}$ 分别表示甲、乙的平均数， $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ 分别表示甲、乙的方差，则（）

A、 $\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}$ ， $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ B、 $\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}$ ， $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ C、 $\bar{x_{1}} < \bar{x_{2}}$ ， $s_{1}^{2} = s_{2}^{2}$ D、 $\bar{x_{1}} > \bar{x_{2}}$ ， $s_{1}^{2} = s_{2}^{2}$

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9、在复平面内，复数 $z = (1 + i) (1 - 3 i)$ 对应的点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、如果数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = 0$ 且 $|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + \cdot \cdot \cdot + |a_{n}| = 1 (n \geq 3 ， n \in N^{*}),$ 则称 ${a_{n}}$ 为n阶“归化”数列.

(1)、若某3阶“归化”数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；

(2)、若某11阶“归化”数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，求该数列的通项公式；

(3)、若 ${a_{n}}$ 为n阶“归化”数列，求证 $a_{1} + \frac{1}{2} a_{2} + \frac{1}{3} a_{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n} a_{n} \leq \frac{1}{2} - \frac{1}{2 n} .$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - a (1 - x + ln x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 不是单调函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $(1, + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的最小整数值. $(e^{2} \approx 7.39)$

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12、如图所示，正方形 $A A_{1} D_{1} D$ 与矩形 $A B C D$ 所在平面互相垂直， $A B = 2 A D = 2$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $B D_{1} //$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(2)、在线段 $A B$ 上是否存在点 $M$ ，使二面角 $D_{1} - M C - D$ 的平面角的大小为 $\frac{π}{4}$ ？若存在，求出 $A M$ 的长；若不存在，请说明理由.

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13、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $(12 \sin B - \sin A \cos C) b = a \sin C \cos B$ ．

(1)、求 $\frac{b}{a}$ 的值；

(2)、若 $a = 6$ ，点 $D$ 是线段 $B C$ 上的一点， $∠ C A D = ∠ B A D$ ， $D A = D C$ ，求 $\cos C$ 的值．

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14、如图，在边长为1的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $P$ 点在正方形内（含边界），且 $|\vec{A P}| = |\vec{A B}|$ ． ①若 $|\vec{B P}| = |\vec{A B}|$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B P}$ 的值是；②若向量 $\vec{A C} = λ \vec{D E} + μ \vec{A P}$ ，则 $λ + μ$ 的最小值为．

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15、某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为 $5cm$ ，秒针均匀地绕点O旋转，当时间 $t = 0$ 时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离 $d (cm)$ 表示成 $t (s)$ 的函数，则 $d =$ 其中 $t \in [0, 60]$ .

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16、出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若 $A C = b$ ， $B C = a (b \geq a)$ ， $A B = c$ ，图中两个阴影三角形的周长分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，则 $\frac{l_{1} + l_{2}}{a + b}$ 的最小值为.

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17、设函数 $g (x) = \sin ω x (ω > 0)$ 向左平移 $\frac{π}{5 ω}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、在 $(0, 2 π)$ 上，方程 $f (x) = 1$ 的根有3个，方程 $f (x) = - 1$ 的根有2个 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{10})$ 上单调递增 D、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{12}{5}, \frac{29}{10})$

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18、设点D是 $△ A B C$ 所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，则D是BC边上靠近B的三等分点 B、若 $\vec{A D} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}| \cos B} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}| \cos C})$ ，（ $λ \in R$ 且 $λ \neq 0$ ），则直线AD经过 $△ A B C$ 的垂心 C、若 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，且x， $y \in R$ ， $x + y = \frac{1}{2}$ ，则 $△ B C D$ 是 $△ A B C$ 面积的一半 D、若平面内一动点P满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|})$ ，（ $λ \in R$ 且 $λ \neq 0$ ），则动点P的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的外心

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19、已知直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = x^{2} - (a + 1)$ 的切线，也是曲线 $y = a \ln x - 1$ 的切线，则k的最大值是（）

A、 $\frac{2}{e}$ B、 $\frac{4}{e}$ C、2e D、4e

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20、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2, A C = 5, ∠ B A C = 60 °, B C, A C$ 边上的两条中线 $A M, B M$ 相交于点 $P$ ，求 $∠ M P N$ 的余弦值．（）

A、 $\frac{6 \sqrt{91}}{91}$ B、 $\frac{4 \sqrt{91}}{91}$ C、 $\frac{5 \sqrt{91}}{91}$ D、 $\frac{7 \sqrt{91}}{91}$

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