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相关试卷

1、已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的内切球半径为 $r$ ，则当四棱锥 $P - A B C D$ 的体积最小时，它的高为（）

A、 $2 \sqrt{2} r$ B、 $3 r$ C、 $4 r$ D、 $5 r$

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2、已知 $△ A B C$ 满足 $3 \vec{C A} \cdot \vec{C B} + 4 \vec{B A} \cdot \vec{B C} = 5 \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ，则 $cos A$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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3、以下说法正确的是（）

A、 $a$ 是平面 $α$ 外的一条直线，则过 $a$ 且与 $α$ 平行的平面有且只有一个 B、若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行 C、平面 $α$ 内不共线的三点到平面 $β$ 的距离相等，则 $α$ $/ /$ $β$ D、空间中 $A, B, C$ 三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1的平面恰有两个

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4、已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A D})$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、8

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5、已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $6 π$ C、 $8 π$ D、 $16 π$

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6、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 2 \sqrt{2}, C = \frac{π}{6}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7、 $(1 + i) {(1 - i)}^{2}$ 的值为（）

A、 $2 - 2 i$ B、 $- 2 - 2 i$ C、 $2 + 2 i$ D、 $- 2 + 2 i$

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9} = 1$ ，则 $a_{3} + a_{7} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\frac{7}{3}$ C、1 D、 $\frac{2}{9}$

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9、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面ABC，四边形 $A A_{1} C_{1} C$ 为菱形，且 $∠ A_{1} A C = 60 °$ ， $∠ B C A = 90 °$ ， $A C = B C = 2$ .

(1)、求证： $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、求二面角 $A - A_{1} B - C$ 的余弦值的大小.

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10、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P.

(1)、令 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A P}$ ；

(2)、证明： $|\vec{A M}| = \frac{1}{2} \sqrt{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}$ ；

(3)、若 $A B = 4$ ， $A C = 10$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，求∠MPN的余弦值.

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11、如图，已知点 $P$ 是正方形 $A B C D$ 所在平面外一点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = P A$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $P C$ 的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P A D$ 所成的角.

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12、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，向量 $\vec{e}$ 是与向量 $\vec{b}$ 同向的单位向量，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- 2 \vec{e}$ .

(1)、若 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求 $|\vec{a}|$ 的大小；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 夹角的余弦值.

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13、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\cos 2 B + \cos 2 C = 2 \cos 2 A$ .

(1)、证明： $2 a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ；

(2)、若 $a = 3$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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14、如图所示，三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面ABC， $P A ⊥ P C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $P A = P C = 1$ ， $A C = B C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积为.

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15、在 $△ A B C$ 中，E为AC上一点， $\vec{A C} = 3 \vec{A E}$ ， P为BE上任一点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A C} (m > 0, n > 0)$ ，则 $m + 3 n =$ .

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16、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 $\frac{b \cos C + c \cos B}{a} =$ ．

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17、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $a = 2 \sqrt{7}$ ， $b = 4$ ， $c = 6$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆圆心，满足 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $\frac{cos ∠ O A B}{cos ∠ O A C} = \frac{9}{4}$ C、 $\vec{C B} \cdot \vec{A O} = 10$ D、 $λ μ = \frac{2}{27}$

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18、设平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为非零向量，则下列命题错误的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$ C、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$

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19、设复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 + i}$ ，则（）

A、 $z$ 的实部为 $\frac{3}{2}$ B、 $z = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $z$ 的虚部为 $\frac{1}{2} i$ D、 $|z| = 1$

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20、如图所示的四边形ABCD中， $△ A C D$ 是等边三角形，B是AC边的中线延长线上一点， $A B = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，点E在四边形ABCD的边上运动，则 $\vec{E B} \cdot \vec{E D}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 3, 1]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[- 1, 0]$ D、 $[- 3, 0]$

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