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相关试卷

1、已知圆 $x^{2} + y^{2} - x - 2 y + m = 0$ 与 $x$ 轴交于点 $P (1, 0)$ ，且经过椭圆 $G : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点，椭圆 $G$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $G$ 的方程；

(2)、若点 $A$ 为椭圆 $G$ 上一点，且在 $x$ 轴上方， $B$ 为 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点，点 $M$ 为椭圆 $G$ 的右顶点，直线 $P A$ 与 $M B$ 交于点 $N, △ P B N$ 的面积为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求直线 $P A$ 的斜率．

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2、已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) ln x (a \in R)$ ．

(1)、求证：当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = - 1$ 只有一个交点；

(2)、若 $f (x)$ 既存在极大值，又存在极小值，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、某同学用“五点法”画函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
$x$
$\frac{π}{3}$
$\frac{5 π}{6}$
$ω x + φ$
$\frac{π}{2}$
$2 π$
$y = A \sin (ω x + φ)$
0
$- 3$

(1)、请将上表数据补充完整，并写出函数 $f (x)$ 的解析式（直接写出结果即可）；

(2)、根据表格中的数据作出 $f (x)$ 在一个周期内的图象；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上的值域．

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4、已知函数 $f (x) = x - \sqrt{2} \sin x, x \in [0, π]$ ，则 $f (x)$ 的最大值为．

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5、平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \sqrt{10}$ ，则 $|\vec{b}| =$ ．

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6、已知点 $A (4, 1), F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 为 $C$ 的右支上一点，则（）

A、 $|P A| + |P F_{1}| < 6 \sqrt{2}$ B、 $|P A| + |P F_{2}| \geq 3 \sqrt{2}$ C、 $|P A| - |P F_{1}| \leq - \sqrt{2}$ D、 $|P A| - |P F_{2}| > - \sqrt{2}$

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7、下列说法中正确的是（）

A、线性回归分析中可以用决定系数 $R^{2}$ 来刻画回归的效果，若 $R^{2}$ 的值越小，则模型的拟合效果越好 B、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，若 $E (X) = 20$ ， $D (X) = 10$ ，则 $n = 40$ C、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，若 $P (ξ > 1) = p$ ，则 $P (ξ > 3) = 1 - p$ D、已知随机事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (B) = \frac{3}{5}$ ， $P (A B) = \frac{2}{5}$ ，则 $P (\bar{A} | B) = \frac{2}{3}$

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8、设曲线 $C$ 与函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{6} x^{3} (0 < x \leq t)$ 的图象关于直线 $y = \sqrt{3} x$ 对称，设曲线 $C$ 仍然是某函数的图象，则实数t的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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9、已知函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - a x + 6)$ 在 $(1, 2)$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $[4, 5]$ B、 $[4, 5)$ C、 $(- \infty, 4)$ D、 $[- \infty, 4] \cup [5, + \infty)$

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10、已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代号 $t$
1
2
3
4
5
成交额y（万元）
50
60
70
80
100
若 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 12 t + \hat{a}$ ，则根据回归方程预测该店2023年“五一”黄金周的成交额是（）

A、84万元 B、96万元 C、108万元 D、120万元

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11、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则（）

A、 $7^{ln x + ln y} = 7^{ln x} + 7^{ln y}$ B、 $7^{ln (x + y)} = 7^{ln x} \cdot 7^{ln y}$ C、 $7^{ln x \cdot ln y} = 7^{ln x} + 7^{ln y}$ D、 $7^{ln (x y)} = 7^{ln x} \cdot 7^{ln y}$

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12、已知在单调递增的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3}$ 与 $a_{7}$ 的等差中项为8，且 $a_{2} \cdot a_{8} = - 17$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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13、已知 $z = (2 a - 1) + (a + 1) i (a \in R)$ ，则“ $| z | = \sqrt{2}$ ”是“ $a = \frac{2}{5}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．

(1)、根据散点图判断， $y = a + b x$ 和 $y = c + d x^{2}$ 哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；

(3)、根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{4} = 979$ ， $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 390$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 1221$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} y_{i} = 4607.9$

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15、近日，一些高校陆续发布了关于在高考中数学或者物理取得优异成绩的学生可以在其强基计划中破格入围的相关政策，引得学生和老师们纷纷关注，成为高考前的一大热点．为此某中学对在校学生“是否热爱钻研数学压轴题”利用分层抽样的方式进行了调查，共调查了18名男同学和9名女同学，调查发现，男、女同学中分别有12人和4人热爱钻研数学压轴题，其余同学均不热爱钻研数学压轴题．

(1)、根据以上数据完成以下 $2 \times 2$ 列联表．
性别
是否热爱钻研数学压轴题
合计
热爱钻研数学压轴题
不热爱钻研数学压轴题
男同学
女同学
合计
并依据小概率值 $α = 0.15$ 的独立性检验，判断性别与热爱钻研数学压轴题是否有关．

(2)、从被调查的女生中随机抽取 $2$ 人，记其中热爱钻研数学压轴题的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.15
0.10
0.025
0.01
$x_{α}$
2.072
2.706
5.024
6.635

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16、某公司新研发了一款智能灯，此灯有拍照搜题功能，学生遇到疑难问题，通过拍照搜题后，会在显示屏上显示该题的解答过程以及该题考查的知识点与相应的解题方法该产品投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了200位使用者，每人填写一份评分表（满分为100分），现从200份评分表中，随机抽取40份（其中男､女使用者的评分表各20份）
作为样本，经统计得到如下的数据：
女生使用者评分：67，71，72，75，80，83，83，83，84，84，85，86，88，90，90，91，92，92，92，92
男生使用者评分：67，68，69，69，70，72，72，73，74，75，76，76，77，78，79，82，84，84，89，92
记该样本的中位数为 $M$ ，按评分情况将使用.都对该智能灯的态度分为两种类型：评分不小于 $M$ 的称为“满意型”，其余的都称为“不满意型”.

(1)、求 $M$ 的值，填写如下 $2 \times 2$ 列联表
女生评分
男生评分
合计
“满意型”人数
“不满意型”人数
合计

(2)、能否有 $99 %$ 的把握认为满意与性别有关？
参考公式与数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.1
0.05
0.025
0.01
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635

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17、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + 1 (a \in R)$ ，当 $x = 2$ 时， $f (x)$ 取得极值 $- 3$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 3]$ 上的最值．

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18、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (x - 1)$ 为奇函数，当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = 1 - x^{2}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) =$ .

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19、已知 $a, b > 0$ 且 $a + b = 3$ ，则 $\frac{9}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值为.

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20、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - x^{5} - 3 x + a - 1$ ，则 $f (- a)$ 的值为.

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$x$		$\frac{π}{3}$	$\frac{5 π}{6}$
$ω x + φ$		$\frac{π}{2}$		$2 π$
$y = A \sin (ω x + φ)$	0		$- 3$

年份	2018	2019	2020	2021	2022
年份代号 $t$	1	2	3	4	5
成交额y（万元）	50	60	70	80	100

性别	是否热爱钻研数学压轴题		合计
性别	热爱钻研数学压轴题	不热爱钻研数学压轴题	合计
男同学
女同学
合计

	女生评分	男生评分	合计
“满意型”人数
“不满意型”人数
合计

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.1	0.05	0.025	0.01
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635

$α$	0.15	0.10	0.025	0.01
$x_{α}$	2.072	2.706	5.024	6.635