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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x} (a + \ln x)$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \in (0, \ln 2)$ 时，设 $g (x) = f^{'} (x)$ .求证： $y = g (x)$ 存在极小值点.

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2、某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为 $\frac{1}{20}$ .检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测.

(1)、从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取 $10$ 件进行检测，求这 $10$ 件产品中的次品数 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、若智能自动检测的准确率为 $98 %$ ，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率.

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3、如图，在圆锥 $S O$ 中， $A D$ 为圆 $O$ 的直径， $B, C$ 为圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 的两个三等分点， $M$ 为 $S D$ 的中点， $S O = O A = 3$ ；

(1)、求证：平面 $S B D ⊥$ 平面 $S O C$ ；

(2)、求直线 $S D$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值.

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4、抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于A、B两点，抛物线 $C$ 在A、B处的切线交于点 $P$ ，则 $| A B | + \frac{16}{| P F |^{2}}$ 的最小值为.

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $c cos B + b cos C = \sqrt{2} a cos A$ 且 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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6、已知 $i$ 为虚数单位，则 $\frac{9 + 2 i}{4 - i}$ 的共轭复数为.

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7、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 对任意的实数x，y都有 $f (x) + f (y) = 2 f (\frac{x + y}{2}) g (\frac{x - y}{2})$ 成立， $f (1) = 1$ ， $g (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $g (0) = 1$ C、 $g (x) = \frac{f (1 + x) + f (1 - x)}{2}$ D、4为 $g (x)$ 的一个周期

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8、已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， E，F，G分别为AD、AB、BC的中点，将 $△ D A C$ 沿着对角线AC折起至 $△ D^{'} A C$ ，连结 $B D^{'}$ ，得到三棱锥 $D^{'} - A B C$ .设二面角 $D^{'} - A C - B$ 的大小为 $θ$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A C ⊥ B D^{'}$ B、当平面 $E F G$ 截三棱锥 $D^{'} - A B C$ 的截面为正方形时， $θ = \frac{π}{3}$ C、三棱锥 $D^{'} - A B C$ 的体积最大值为1 D、当 $θ = \frac{2 π}{3}$ 时，三棱锥 $D^{'} - A B C$ 的外接球的半径为 $\frac{\sqrt{21}}{3}$

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9、根据国家统计局统计，我国2018-2023年的出生人口数（单位：万人）分别为：1523，1465，1202，1062，956，902，将年份减去2017记为x，出生人口数记为y，得到以下数据：
x
1
2
3
4
5
6
y
（单位：万人）
1523
1465
1202
1062
956
902
已知 $\bar{y} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 1185$ ，由最小二乘法求得 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = - 136 x + \hat{a}$ ，则（）

A、 $\hat{a} = 1661$ B、这6年出生人口数的下四分位数为1465 C、样本相关系数 $r < 0$ D、样本点 $(4, 1062)$ 的残差为55

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{2 x}{e^{x}}, x \geq 0 \\ \sin (ω x + \frac{π}{3}), - π \leq x < 0 \end{array}$ ， $g (x) = 4 f^{2} (x) - (2 \sqrt{2} + 2) f (x) + \sqrt{2}$ ，若函数 $y = g (x)$ 有8个零点，则正数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{13}{6}, \frac{7}{2}]$ B、 $[\frac{13}{6}, \frac{7}{2})$ C、 $[\frac{19}{12}, \frac{25}{12}]$ D、 $[\frac{19}{12}, \frac{25}{12})$

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11、设 $a = 1 + \ln 1.03$ ， $b = \frac{1.03}{e^{0.03}}$ ， $c = 1.03$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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12、将甲、乙等6人安排到三个景点做环保宣传工作，每个景点安排2人，其中甲、乙不能安排去同一个景点，不同的安排方法数有（）

A、84 B、90 C、72 D、78

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13、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $E$ 上一点， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ 且直线 $P F_{2}$ 的一个方向向量为 $(3, - \sqrt{3})$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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14、已知 $α$ ， $β$ 均为锐角， $\sin (α - \frac{β}{2}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (- \frac{α}{2} + β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $\cos \frac{α + β}{2}$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$

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15、已知平面向量 $\vec{a} = (5, 0)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ，则向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(2, - 1)$ B、 $(5, 0)$ C、 $(\frac{4}{5}, - \frac{2}{5})$ D、 $(4, - 2)$

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16、设数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 4$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $2^{2024}$ B、 $\pm 2^{2024}$ C、 $2^{2023}$ D、 $\pm 2^{2023}$

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17、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x| x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ，则集合 $A \cap B$ 的子集个数为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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18、某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

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19、下列求导结果正确的是（）

A、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(\sqrt{x})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ C、 ${(x^{a})}^{'} = a x^{a - 1}$ D、 ${({log}_{a} x)}^{'} - {(\frac{ln x}{ln a})}^{'} = \frac{1}{x ln a}$

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20、若 $\sin (α + β) + \cos (α + β) = 2 \sqrt{2} \cos (α + \frac{π}{4}) \sin β$ ，则（）

A、 $\tan (α - β) = 1$ B、 $\tan (α + β) = 1$ C、 $\tan (α - β) = - 1$ D、 $\tan (α + β) = - 1$

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