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相关试卷

1、已知函数 $g (x) = 2 \ln (- x - 1) + \cos (- x - 2)$ .

(1)、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图像关于 $x = - 1$ 对称，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、 $f (x) - 1 \leq a x$ 在定义域内恒成立，求a的值；

(3)、求证： $\sum_{k = n + 1}^{2 n} f (\frac{1}{k} - \frac{1}{2}) < \ln 4$ ， $n \in N^{*}$ .

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为A，B，点 $(1, \frac{3}{2})$ 在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F的坐标为 $(1, 0)$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、如图，过点F且斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为 $k_{1}$ ，直线BN的斜率为 $k_{2}$ ，求证： $k_{1} = \frac{1}{3} k_{2}$ ．

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3、夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是 $\frac{2}{3}$ ，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为 $\frac{1}{3}$ ，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如此往复．（提示：设 $A_{n}$ 表示第 $n$ 天选择绿豆汤）

(1)、求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率

(2)、求该同学第2天选择绿豆汤的概率；

(3)、记该同学第 $n$ 天选择绿豆汤的概率为 $P_{n}$ ，求出 $P_{n}$ 的通项公式.

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4、图1是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形ABCD，将 $△ A C D$ 沿AC折起得到如图2所示的三棱锥 $P - A B C$ ，且 $P B = \sqrt{2}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面ABC；

(2)、点M是棱PA上不同于P，A的动点，设 $\frac{A M}{A P} = λ (0 < λ < 1)$ ，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为 $\frac{7}{9}$ ，求 $λ$ 的值．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} \neq 0$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $\sqrt{S_{n}} + \sqrt{S_{n - 1}} = a_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $a_{1} + b_{1} = 0$ ， $a_{2} + b_{2} = a_{3} + b_{3} = a_{4} - 3 b_{4}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{n b_{n}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

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6、正方体 $A B C D － A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $3$ ， $P$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ （包括边界）上一动点， $E$ 是棱 $C D$ 上一点，若 $∠ A P B = ∠ D P E$ ，且 $△ A P B$ 的面积是 $△ D P E$ 面积的 $9$ 倍，则三棱锥 $P － A B E$ 体积的最大值是．

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7、已知在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中第5项为常数项，展开式中含有 $x^{2}$ 顶的系数为.

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左､右两支分别交于 $A, B$ 两点， $P$ 为 $C$ 的右支上一点（异于点 $B$ ）， $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心为 $N$ .则以下结论正确的是（）

A、直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率之积为4 B、若 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 4$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ C、以 $P F_{1}$ 为直径的圆与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切 D、若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则点 $N$ 坐标为 $(2, \sqrt{6} - \sqrt{5})$

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9、在圆锥 $P O$ 中， $P O$ 为高， $A B$ 为底面圆的直径，圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$ ，母线长为 $2$ ，点 $C$ 为 $P A$ 的中点，圆锥底面上点 $M$ 在以 $A O$ 为直径的圆上（不含 $A ､ O$ 两点），点 $H$ 在 $P M$ 上，且 $P A ⊥ O H$ ，当点 $M$ 运动时，则（）

A、三棱锥 $M - P A O$ 的外接球体积为定值 B、直线 $C H$ 与直线 $P A$ 不可能垂直 C、直线 $O A$ 与平面 $P A M$ 所成的角可能为 $60^{\circ}$ D、 $A H + H O < 2$

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10、已知函数 $f (x) = 2 sin x + sin 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是最小正周期是 $2 π$ B、 $π$ 是 $f (x)$ 的一个极值点 C、 $f (x)$ 的最小值是 $- 2$ D、 $f (x)$ 在 $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ 上单调递减

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11、已知函数 $f (x) = x e^{- x}, g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - l n x + a$ ，若 $\exists x_{1}, x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{e^{2}} + l n 2 - 2, \frac{1}{e} - \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{2}{e^{2}} + l n 2 - 2, \frac{1}{e} - \frac{1}{2}]$ C、 $(\frac{1}{2} - \frac{1}{e}, \frac{2}{e^{2}} - l n 2 + 2)$ D、 $[\frac{1}{2} - \frac{1}{e}, \frac{2}{e^{2}} - l n 2 + 2]$

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12、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{4}) - \sqrt{3}$ （ $ω > 0$ ）在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有三个零点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{25}{6}, \frac{29}{6})$ B、 $[\frac{23}{6}, \frac{31}{6})$ C、 $(\frac{25}{6}, \frac{29}{6}]$ D、 $(\frac{23}{6}, \frac{31}{6}]$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 4$ ，对 $\forall m$ ， $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{m + n} = a_{m} \cdot a_{n}$ ， $T_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项乘积，若 $T_{5} < T_{4}$ ，则 $T_{101} =$ （）

A、 $- 2^{5151}$ B、 $2^{5050}$ C、 $- 2^{101}$ D、 $2^{5151}$

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14、抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，则 $|A F| + 4 |B F|$ 的最小值为（）

A、5 B、9 C、8 D、10

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15、某大学共有15000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（）(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)

A、众数约为10 B、中位数约为6.5 C、平均数约为6.76 D、该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为7.6

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16、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \vec{b}$ B、 $\vec{b}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{b}$

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17、已知 $z = 2 + i$ ，则 $\frac{z}{z + i} =$ （）

A、 $\frac{3 - i}{4}$ B、 $\frac{1 - i}{4}$ C、 $\frac{3 + i}{4}$ D、 $\frac{1 + i}{4}$

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18、已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ， $A = \{2, 3, 6, 7\}$ ， $B = \{2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{6, 7\}$ B、 $\{1, 7\}$ C、 $\{1, 6\}$ D、 $\{1, 6, 7\}$

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19、已知平面内两个定点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，满足直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率之积为 $\frac{1}{4}$ 的动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于不同两点 $M, N$ ；

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $A M$ 和 $A N$ 的斜率之积为 $\frac{1}{12}$ ，求证：直线 $l$ 过定点；

(3)、若直线 $l$ 与直线 $l_{1} : x + 2 y = 0, l_{2} : x - 2 y = 0$ 分别交于 $R, S$ ，求证： $| M R | = | N S |$ .

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20、定义：对于一个无穷数列 $\{a_{n}\}$ ，如果存在常数 $a$ ，对于任意给定的正数 $ε$ ，总存在正整数 $N$ ，使得对于任意大于 $N$ 的正整数 $n$ ，都有 $|a_{n} - a| < ε$ .则称常数 $a$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的极限，记作 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ .根据上述定义，完成以下问题：

(1)、若 $a_{n} = 3 + {(- \frac{1}{2})}^{n}$ ， $b_{n} = \log_{2} (2 n - 1)$ ，判断数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 是否存在极限；如果存在，请写出它的极限（不需要证明）；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，数列 $\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列；
①求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
②若 $T_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}$ .证明： $\lim_{n \to \infty} T_{n} = 1$

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