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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) f (y) = f (x y) + | x | + | y |$ ，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (1) = - 1$ C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 是奇函数

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2、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{2 x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 在定义域内单调递增 C、 $f (x)$ 有2个零点 D、 $f (x)$ 的最小值为 $\sqrt{2}$

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3、已知函数 $f (x)$ 为偶函数，且在 $(- \infty, 0]$ 上单调递增， $f (- 1) = 0$ ，则不等式 $f (2 x + 1) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (0, + \infty)$

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4、若函数 $f (x) = \frac{(x + 1) (x + a)}{x}$ 为奇函数，则实数 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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5、我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数 $f (x) = - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6、不等式 $a x^{2} + b x - 3 < 0$ 的解集是 $(- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$ ，则 $b - a$ 的值是（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- 5$ D、 $5$

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7、已知命题p：集合 $A = \{x| x^{2} + x - 2 > 0\}$ ，命题q：集合 $B = \{x| x^{2} + 2 x - 3 > 0\}$ ，则p是q的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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8、已知 $a, b, c \in R, a > b$ ，则下列一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a b > b^{2}$ C、 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ D、 $a (c^{2} + 1) > b (c^{2} + 1)$

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9、已知集合 $A = {- 2, - 1, 1, 2}, B = \{x |\frac{x + 2}{x - 1} \leq 0\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10、已知集合 $A = \{x | - 2 < x < 4\}$ ，集合 $B = \{x | x + a - 1 \geq 0\}$ ，若 $A \cup B = \{x | x > - 2\}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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11、由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式： $n - e + f = 2$ ，其中 $n$ 为顶点数， $e$ 为棱数， $f$ 为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式， $e = 12, f = 6$ ，可以得到顶点数 $n = 8$ .

(1)、已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；

(2)、证明： $n$ 个顶点的凸多面体，至多有 $3 n - 6$ 条棱；

(3)、已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.

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12、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为 $2$ 的正方形， $P B = P D$ .

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P A = 1$ ， $P A$ 与平面 $A B C D$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求二面角 $P - B C - A$ 的正弦值.

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13、设 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b (2 cos A + {sin}^{2} C) = c sin B sin C + b$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、设 $c = \sqrt{3}, △ A B C$ 为锐角三角形， $D$ 是边 $A C$ 的中点，求 $\vec{D B} \cdot \vec{A C}$ 的取值范围.

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14、如图所示，正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为 $2, E, F$ 分别为 $A^{'} B^{'}, B^{'} C^{'}$ 的中点，点 $G$ 满足 $\vec{B^{'} G} = λ \vec{B^{'} B}$ .

(1)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，证明： $E G //$ 平面 $D^{'} A C$ ；

(2)、连接 $B D$ ，点 $M$ 在线段 $B D$ 上，且满足 $D^{'} M //$ 平面 $E F G$ .当 $λ \in [\frac{1}{2}, 1]$ 时，求 $D^{'} M$ 长度的取值范围.

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15、已知复数 $z = sin θ + i (cos 2 θ + 1), θ \in R$ ，且 $2 z - i$ 是实数.

(1)、求 $θ$ 的值；

(2)、求 $z^{3}$ 的值.

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16、如图所示，在棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是平面 $B A_{1} C_{1}$ 内的动点，满足 $B_{1} P = \frac{\sqrt{6}}{4} a$ ，则直线 $D_{1} P$ 与平面 $B A_{1} C_{1}$ 所成角正切值的最大值为.

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17、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (2, - 1)$ ，则与 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 夹角相同的单位向量为.

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18、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $M, N$ 分别为 $B C, C D$ 的中点，将菱形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起，使点 $D$ 不在平面 $A B C$ 内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（）

A、 $M N$ $/ /$ 平面 $A B D$ B、异面直线 $A C$ 与 $M N$ 所成角为定值 C、设菱形 $A B C D$ 边长为 $a, ∠ C D A = 60^{\circ}$ ，当二面角 $D - A C - B$ 为 $120^{\circ}$ 时，三棱锥 $D - A B C$ 的外接球表面积为 $\frac{7}{3} π a^{2}$ D、若存在某个位置，使得直线 $A D$ 与直线 $B C$ 垂直，则 $∠ A B C$ 的取值范围是 $(0, \frac{π}{4})$

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19、已知 $z_{1}, z_{2}$ 为复数， $z_{1} z_{2} \neq 0$ ，则以下说法正确的有（）

A、 $\frac{| z_{1} |}{| z_{2} |} = | \frac{z_{1}}{z_{2}} |$ B、 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} | + | z_{2} |$ C、 $\frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}, \frac{z_{1}}{z_{2}}$ 互为共轭复数 D、若 $| z_{1} | = 1$ ，则 $| z_{1} - 3 + 4 i |$ 的最大值为6

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20、以下关于向量的说法正确的有（）

A、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ B、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ C、 $|\vec{a} \cdot \vec{a} \cdot \vec{a}| = | \vec{a} |^{3}$ D、若 $\vec{a}$ $/ /$ $\vec{b}, \vec{b}$ $/ /$ $\vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ $/ /$ $\vec{c}$

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