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相关试卷

1、 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在 $A C$ 边上，且直线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ .

(1)、求证： $\frac{C D}{A D} = \frac{a}{c}$ ；

(2)、若 $A D = 1$ ， $C D = 2$ .
①求 $△ A B C$ 面积S的最大值；
②若 $△ B A D$ 和 $△ B C D$ 的内切圆半径分别是r和R，求 $\frac{r}{R}$ 的取值范围.

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2、为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数；

(2)、若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率；

(3)、已知 $[80, 90)$ 组的方差为12， $[90, 100]$ 组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）；

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3、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} (\cos^{2} x - \sin^{2} x)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - 4 \sin^{2} (x - \frac{π}{4})$ ，若 $g (x)$ 的最大值为 $g (x_{0})$ ，其中 $x_{0} \in [0, \frac{π}{2})$ ，求 $\sin x_{0}$ 的值.

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4、函数 $f (x) = \frac{b}{| x | - a} (a > 0, b > 0)$ 的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当 $a = 1, b = 1$ 时，函数 $f (x)$ 的“囧点”坐标为；此时函数 $f (x)$ 的所有“囧圆”中，面积的最小值为．

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5、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a^{2} = 3 b^{2} + c^{2}$ ，则 $\frac{\tan A}{\tan C} =$ ．

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6、从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为.

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7、如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ B C_{1}$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $B C_{1}$ ， $A C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $D E //$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ B、 $A D ⊥$ 平面 $B C C_{1}$ C、直线 $A D$ 与直线 $D E$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ D、若 $∠ B A C = \frac{π}{6}$ ，则平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$

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8、衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）

A、该次数学史知识测试及格率超过90% B、该次数学史知识测试得满分的同学有15名 C、该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数 D、若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名

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9、已知函数 $f (x) = \ln \frac{x - 1}{3 - x} + a x + 2 a + b \sin (x - 2)$ ，则 $f (x)$ 图象有如下性质（）

A、关于点 $(2, 2 b)$ 中心对称 B、关于直线 $x = b$ 轴对称 C、关于点 $(2, 4 a)$ 中心对称 D、关于点 $(2, 2 a)$ 中心对称

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10、已知一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件A，B，满足 $n (Ω) = 12$ ， $n (A) = 6$ ， $n (B) = 4$ ， $n (A \cup B) = 8$ ，则下列说法正确的是（）

A、事件A与事件B互斥 B、 $P (\bar{B}) = \frac{1}{3}$ C、 $P (A B) > P (A \bar{B})$ D、事件A与事件B相互独立

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11、函数 $y = \cos x \cdot | \tan x |$ （ $0 \leq x < \frac{3π}{2}$ 且 $x \neq \frac{π}{2}$ ）的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知m，n是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A、 $m ∥ α$ ， $n ∥ β$ ， $α ∥ β \Rightarrow m ∥ n$ B、 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β \Rightarrow m ⊥ n$ C、 $m ∥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n \subset β \Rightarrow α ⊥ β$ D、 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α \Rightarrow m \subset β$

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13、已知 $a = \lg \frac{1}{2}$ ， $b = \cos 1$ ， $c = 2^{- \frac{3}{2}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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14、如图，边长为4的正方形 $A B C D$ 中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A，C，D），P是圆Q上及其内部的动点，设， $\overset{⇀}{B P} = m \overset{⇀}{B C} + n \overset{⇀}{B A} (m, n \in R)$ 则 $m + n$ 的取值范围是.

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15、国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表：

行政区	门类	个数
东城区	A：革命遗址及革命纪念建筑物	3
东城区	C：古建筑及历史纪念建筑物	5
西城区	C：古建筑及历史纪念建筑物	2
丰台区	A：革命遗址及革命纪念建筑物	1
海淀区	C：古建筑及历史纪念建筑物	2
房山区	C：古建筑及历史纪念建筑物	1
房山区	E：古遗址	1
昌平区	C：古建筑及历史纪念建筑物	1
昌平区	F：古墓葬	1

(1)、某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17 个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；

(2)、小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；

(3)、现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为

p_{1}

，抽不到海淀区的概率为

p_{2}

，试判断

p_{1}

和

p_{2}

的大小.

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16、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}, ∠ B A C = ∠ D A C = \frac{π}{3}, A C^{2} = A B \cdot A D, P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $P D$ ， $P C$ 的中点， $P A = 2 A B$ .

(1)、求证：平面 $B P C ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、求二面角 $E - A C - D$ 的大小.

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17、某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：

(1)、估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；

(2)、为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在 $[50, 60)$ 和 $[60, 70)$ 的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5 名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在 $[60, 70)$ 内的概率.

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b (1 + cos C) = c cos B - a$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ，且 $\frac{1}{sin A} + \frac{1}{sin B} = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19、已知z是复数，z+1为纯虚数， $\frac{z}{i}$ 的实部为2（i为虚数单位）.

(1)、求复数z；

(2)、求 $z \cdot (3 + 4 i)$ 的模.

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20、如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为 $D$ ，某班数学小组在斜坡 $A B$ 坡脚 $A$ 处测得浮雕下沿 $D$ 的仰角 $α$ 满足 $\tan α = \frac{4}{3}$ ，在斜坡 $A B$ 上的 $B$ 处测得 $∠ A B C$ 满足 $\tan ∠ A B C = \frac{17}{11}$ ．已知斜坡 $A B$ 与地面的夹角为 $∠ B A H$ 满足 $\tan ∠ B A H = \frac{1}{3}, A B = 2 \sqrt{10} m$ ， $A E = 8 m$ ，则浮雕 $C D$ 的高度（上下沿之间的距离）为m.

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