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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ ，满足 $f (x + 1) = \frac{2024 f (x)}{f (x) + 2024}$ ，且 $f (1) = 2024$ ，则 $\frac{1}{f (1)} + \frac{1}{f (2)} + \frac{1}{f (3)} + \dots +$ $\frac{1}{f (2024)} =$ （）

A、 $1011$ B、 $\frac{2023}{2}$ C、 $1012$ D、 $\frac{2025}{2}$

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2、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $M$ 在双曲线 $C$ 上，且满足 $M F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $\sin ∠ M F_{1} F_{2} = \frac{1}{5}$ 则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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3、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $S_{8} = 17 S_{4}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为（）

A、2 B、1 C、 $\pm 2$ D、 $\pm 2$ 或 $- 1$

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4、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a b = 2 \sin A \sin B$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆半径为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5、在复平面内，复数 $z = \frac{2 + i}{5 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{130}}{26}$ D、 $\frac{5}{26}$

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6、已知集合 $A = \{x |y = \ln (5 - x), x \in N\}$ ， $B = \{y |y = e^{x}\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、无数

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7、某同学高中阶段6次考试的数学成绩为105，117，110，128，141，133，则这6次数学成绩的极差为（）

A、128 B、119 C、36 D、28

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8、已知平面向量 $\vec{a} = (0, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 \sqrt{3}, 4)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $4 - 2 \sqrt{3}$

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9、已知函数 $f (x) = ln x + x + a$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $b x - y = 0$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、证明： $f (x) < x (e^{x} + ln x - 1) + 1$ ．

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10、某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，每次参加面试通过的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，且每次考试是否通过相互独立．

(1)、求甲在一年内考试失败的概率；

(2)、求甲在一年内参加考试次数 $X$ 的分布列及期望．

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11、某学校随机调查了1000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表：
数学成绩
语文成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
400
200
600
不优秀
200
200
400
合计
600
400
1000

(1)、判断是否有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2)、按数学成绩是否优秀用分层随机抽样的方法从1000名学生中选取5人，再从这5人中任选3人，求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．当 $χ^{2} > 6.635$ 时，有99%的把握判断变量A，B有关联．

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 18, a_{2} = 2 a_{1}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{4}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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13、某一电路中，流过的电荷量Q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数为 $Q (t) = 4 t^{2} - 2 \ln t$ ，则在第2秒时该电路的电流为A．

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} \neq \pm 1$ ，且 $a_{n + 1} a_{n} + a_{n + 1} = 2, b_{n} = |\frac{a_{n} + 2}{a_{n} - 1}|$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 可能为常数列 B、数列 $\{b_{n}\}$ 可能为等比数列 C、若 $a_{1} = 2$ ，则 $\sum_{i = 1}^{20} b_{i} = 2^{21} - 2$ D、若 $a_{1} = - \frac{5}{2}$ ，记 $S_{n}$ 是数列 $\{\frac{1}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项积，则 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{3}$

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15、已知随机变量X服从正态分布 $N (14, σ^{2})$ ，且 $P (X < a) = P (X > a + 4) = 0.1$ ，则（）

A、 $a = 12$ B、 $a = 11$ C、 $P (12 \leq X \leq 14) = 0.3$ D、 $P (12 \leq X \leq 14) = 0.4$

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16、《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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17、某班举办知识竞赛，已知题库中有 $A, B$ 两种类型的试题， $A$ 类试题的数量是 $B$ 类试题数量的两倍，且甲答对 $A$ 类试题的概率为 $\frac{1}{2}$ ，答对 $B$ 类试题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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18、甲、乙两人同时去乘坐一列有6节车厢的地铁，则两人乘坐的车厢相邻的方案共有（）

A、10种 B、5种 C、12种 D、6种

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19、已知随机变量X服从二项分布 $B (5, \frac{3}{4})$ ，则 $D (X) =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、 $\frac{5}{16}$ D、 $\frac{15}{16}$

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20、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{7} a_{8} = 8 a_{12}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、16

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数学成绩	语文成绩		合计
数学成绩	优秀	不优秀	合计
优秀	400	200	600
不优秀	200	200	400
合计	600	400	1000