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相关试卷

1、从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有3条，则从A村经B村再去C村，不同路线的条数是（）

A、5 B、6 C、8 D、9

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2、依据《宜宾市城市总体规划（2018~2035）》规划战略定位，拟将我市建设成“长江生态首城、中华美酒之都、华夏最美竹海”．若将宜宾临港经济开发区某地段（如图所示）中的四边形区域ACEF建成生态园林公园， $A C ， C E ， E F ， A F$ 为主要道路（不考虑宽度）．已知 $∠ A C E = 90 °$ ， $∠ C E F = 120 °$ ， $A F = 3 E F = 3 C E = 3 km$ ．

(1)、求道路 $A C$ 的长度；

(2)、若在道路 $A C$ 的另一侧规划一块四边形 $A B D C$ 的商业用地，使 $∠ A B C = 60 °$ ，且 $△ B C D$ 为等边三角形，求四边形 $A B D C$ 面积的最大值．

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3、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $A_{1} B = A_{1} C$ ， $A_{1} A = 2 a$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $A D ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ．

(1)、求证： $A_{1} D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $1 \leq a \leq 2$ ，求直线 $A C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值的取值范围．

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4、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c．
条件①：中线AD长为 $\frac{\sqrt{19}}{2}$ ；条件②：△ABC的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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5、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，侧棱 $S D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $S D = 4$ ， $E$ 为侧棱 $S C$ 的中点．

(1)、求证： $S A //$ 平面 $E D B$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $E D B$ 的距离．

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6、2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”．某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（单位：吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，且该市政府希望有 $92 %$ 的居民月用水量不超过标准x吨．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了200户居民某年的月均用水量（单位：吨），并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)、求直方图中m的值，并估计月用水量标准x的值；

(2)、若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取6户，再从这6户中任意选取两户，求这两户来自同一组的概率．

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7、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ；

(2)、当实数 $k$ 为何值时， $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直？

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8、在等腰梯形ABCD中，已知 $A B // D C$ ， $A B = 4$ ， $A D = B C = 2$ ， $\frac{\vec{B A}}{|\vec{B A}|} \cdot \frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} = \frac{1}{2}$ ，点E，F分别在线段BC和CD上，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最大值为．

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9、著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如 $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ ．已知 $2310 = a_{1} \times a_{2} \times \dots \times a_{n}$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ 均为质数，若从 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ 中任选2个数，则这两个数之和小于10的概率为．

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10、已知事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立，且 $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.2$ ，则 $P (A \cup B) =$ ．

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11、已知在复平面内，向量 $\vec{A B}$ 对应的复数是 $2 + i$ ， $\vec{A C}$ 对应的复数是 $3 - 2 i$ ，则向量 $\vec{B C}$ 对应的复数为．

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12、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点P为平面 $C D D_{1} C_{1}$ 上一动点，则下列结论正确的是（）

A、当点P为 $D D_{1}$ 的中点时，直线CP与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、当点P在棱 $C_{1} D_{1}$ 上时， $A P + P B_{1}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、当点P在正方形 $C D D_{1} C_{1}$ 内时，若 $B_{1} P$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成的角为45°，则点P的轨迹长度为 $π$ D、该正方体被过 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 中点的平面 $α$ 分割成两个空间几何体 $Ω_{1}$ 和 $Ω_{2}$ ，某球能被整体放入 $Ω_{1}$ 或 $Ω_{2}$ 内，则该球的表面积的最大值为 $(12 - 6 \sqrt{3}) π$

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13、先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件 $A =$ “两次掷出的点数之和是 $5$ ”，事件 $B =$ “第一次掷出的点数是奇数”，事件 $C =$ “两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 互斥 B、 $P (A) = \frac{1}{9}$ C、 $P (B) = \frac{1}{2}$ D、 $B$ 与 $C$ 相互独立

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14、已知直线a，b和平面 $α$ ， $β$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a ⊥ b$ ， $a ⊥ α$ ，则 $b ∥ α$ B、若 $a ∥ b$ ， $a ⊥ α$ ，则 $b ⊥ α$ C、若 $α ⊥ β$ ， $a \subseteq α$ ，则 $a ⊥ β$ D、若 $a ∥ α$ ， $a \subseteq β$ ， $α \cap β = b$ ，则 $a ∥ b$

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15、已知菱形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 向上折起，得到三棱锥 $A - B C D$ ， $E, F$ 分别是棱 $A B, B C$ 的中点， $A B = B D = 2$ ， $Q$ 为棱 $C D$ 上的一点，且 $D E / /$ 平面 $A F Q$ ，则 $\frac{|D Q|}{|Q C|}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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16、钟鼓楼是宜宾市老城区中山街的一座标志性建筑，某同学为测量钟鼓楼的高度MN，在钟鼓楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为15m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，钟鼓楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得钟鼓楼顶部M的仰角为15°，则钟鼓楼的高度约为（）

A、21m B、26m C、30m D、45m

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17、在 $△ A B C$ 中， $B C = 2 A B$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ A B C$ 的角平分线交AC于点D， $B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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18、如图所示，四等分切割圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了100（单位： $m^{2}$ ），则原圆柱的侧面积是（）（单位： $m^{2}$ ）

A、 $100 π$ B、 $200 π$ C、100 D、200

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3π}{4}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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20、某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论错误的是（）

A、这14天日促销量的众数是214 B、这14天日促销量的中位数是196.5 C、这14天日促销量的极差为195 D、这14天日促销量的第80百分位数是243

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