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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = ln x - a x^{2} (a \in R)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、当 $a = \frac{1}{2}$ 时， $f (x) \leq - \frac{1}{2}$ 恒成立 B、若 $\exists x \in (0, + \infty)$ ，使得 $f (x) \geq 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为 $(0, \frac{1}{2 e}]$ C、若 $a \in (0, \frac{1}{2 e})$ ，则 $f (x)$ 必有两个不同的零点 D、若 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} > e$

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2、已知 ${(1 - x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x^{1} + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{5}} = - 1$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 16$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} = 0$

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3、把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为 $X$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $X$ 服从超几何分布 B、 $X$ 服从二项分布 C、 $P (X = 2) = \frac{1}{16}$ D、若 $Y = 2 X + 1$ ，则 $E (Y) = 5$

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4、定义在 $［ 0, + \infty ）$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in ［ 0, 2 ）$ 时， $f (x) = - x^{2} + 2 x + 1$ ．设 $f (x)$ 在 $［ 2 n - 2, 2 n ）$ 上的最大值为 $a_{n} (n \in N^{*})$ ，其数列 $\{\frac{n^{2}}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则 $T_{n}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{16}$ C、 $\frac{25}{32}$ D、 $\frac{9}{8}$

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5、为了研究某校学生的脚长 $x$ （单位：厘米）和身高 $y$ （单位；厘米）的关系，从该校随机抽取20名学生，根据测量数据的散点图可以看出 $y$ 与 $x$ 之间有线性相关关系，设其经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ．已知 $\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 450, \sum_{i = 1}^{20} y_{i} = 3200, \hat{b} = 4$ ，若该校某学生的脚长为23，据此估计其身高为（）

A、162 B、164 C、168 D、170

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6、袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7、二项式 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为（）

A、6 B、12 C、15 D、30

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8、对四组数据进行统计，获得以下散点图，则关于其相关系数的比较，正确的是（）

A、 $r_{2} < r_{4} < r_{3} < r_{1}$ B、 $r_{2} < r_{4} < r_{1} < r_{3}$ C、 $r_{4} < r_{2} < r_{1} < r_{3}$ D、 $r_{4} < r_{2} < r_{3} < r_{1}$

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9、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, σ)$ ，且 $P (ξ < 4) = 0.8$ ，则 $P (2 < ξ < 4) =$ （）

A、0.3 B、0.4 C、0.5 D、0.6

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10、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{3} + a_{5} = 8$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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11、从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有3条，则从A村经B村再去C村，不同路线的条数是（）

A、5 B、6 C、8 D、9

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12、依据《宜宾市城市总体规划（2018~2035）》规划战略定位，拟将我市建设成“长江生态首城、中华美酒之都、华夏最美竹海”．若将宜宾临港经济开发区某地段（如图所示）中的四边形区域ACEF建成生态园林公园， $A C ， C E ， E F ， A F$ 为主要道路（不考虑宽度）．已知 $∠ A C E = 90 °$ ， $∠ C E F = 120 °$ ， $A F = 3 E F = 3 C E = 3 km$ ．

(1)、求道路 $A C$ 的长度；

(2)、若在道路 $A C$ 的另一侧规划一块四边形 $A B D C$ 的商业用地，使 $∠ A B C = 60 °$ ，且 $△ B C D$ 为等边三角形，求四边形 $A B D C$ 面积的最大值．

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13、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $A_{1} B = A_{1} C$ ， $A_{1} A = 2 a$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $A D ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ．

(1)、求证： $A_{1} D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $1 \leq a \leq 2$ ，求直线 $A C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值的取值范围．

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14、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c．
条件①：中线AD长为 $\frac{\sqrt{19}}{2}$ ；条件②：△ABC的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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15、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，侧棱 $S D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $S D = 4$ ， $E$ 为侧棱 $S C$ 的中点．

(1)、求证： $S A //$ 平面 $E D B$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $E D B$ 的距离．

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16、2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”．某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（单位：吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，且该市政府希望有 $92 %$ 的居民月用水量不超过标准x吨．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了200户居民某年的月均用水量（单位：吨），并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)、求直方图中m的值，并估计月用水量标准x的值；

(2)、若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取6户，再从这6户中任意选取两户，求这两户来自同一组的概率．

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17、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ；

(2)、当实数 $k$ 为何值时， $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直？

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18、在等腰梯形ABCD中，已知 $A B // D C$ ， $A B = 4$ ， $A D = B C = 2$ ， $\frac{\vec{B A}}{|\vec{B A}|} \cdot \frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} = \frac{1}{2}$ ，点E，F分别在线段BC和CD上，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最大值为．

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19、著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如 $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ ．已知 $2310 = a_{1} \times a_{2} \times \dots \times a_{n}$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ 均为质数，若从 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ 中任选2个数，则这两个数之和小于10的概率为．

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20、已知事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立，且 $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.2$ ，则 $P (A \cup B) =$ ．

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