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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且关于x的方程 $n x^{2} + 2 \sqrt{S_{n}} x + n + 1 = 0, n \in N^{*}$ 有两个相等的实数根．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = (a_{n} + 1) \cdot 2^{a_{n}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} \geq 4^{n} λ$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的最大值．

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2、为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有 $10$ 道题目，随机抽取 $3$ 道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的 $6$ 道，试求：

(1)、抽到他能答对题目数 $X$ 的分布列；

(2)、求 $X$ 的期望和方差

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{4 - {(x - 2)}^{2}}, 0 \leq x < 4 \\ f (x - 4), x \geq 4 \end{array}$ ，若对于正数 $k_{n} (n \in N^{*})$ ，直线 $y = k_{n} x$ 与函数 $f (x)$ 的图像恰好有 $2 n + 1$ 个不同的交点，则 $k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + \dots + k_{n}^{2} =$ ．

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4、我们把形如 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 和 $C_{2} : \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{2}{e_{2}}$ 的最大值是．

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5、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (A) = \frac{1}{2} ， P (A \cap B) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (A \cap \bar{B}) =$ ．

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6、设一组样本的统计数据为： $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，其中 $n \in N^{*}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in R$ ，已知该样本的统计数据的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，设函数 $f (x) = \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x)}^{2}, x \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、设 $b \in R$ ，则 $x_{1} + b, x_{2} + b, \dots, x_{n} + b$ 的平均数为 $\bar{x} + b$ B、设 $a \in R$ ，则 $a x_{1}, a x_{2}, \dots, a x_{n}$ 的方差为 $a^{2} s^{2}$ C、当 $x = \bar{x}$ 时，函数 $f (x)$ 有最小值中 $n^{2} s^{2}$ D、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n}) \geq n^{2} s^{2}$

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7、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的极小值点为 $- \frac{1}{e^{2}}$ B、 $f^{'} (- 2) = 0$ C、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, - 2)$ D、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 有两个不同的零点，则 $a \in (- \frac{1}{e^{2}}, 0)$

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8、已知由样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ 组成的一个样本，得到回归直线方程为 $\hat{y} = - x + 2$ ，且 $\bar{x} = 4$ ．剔除一个偏高直线较大的异常点 $(- 14, - 2)$ 后，得到新的回归直线经过点 $(7, - 4)$ ．则下列说法正确的是（）

A、相关变量x，y具有正相关关系 B、剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 C、剔除该异常点后的回归直线方程经过点 $(6, - 2)$ D、剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小

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9、设函数 $f (x) = [a x - (m + 1) e^{x}] (a x - \ln x)$ （其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得 $f (x) < 0$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e^{2}} - 1, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{e} - 1, + \infty)$ C、 $(e^{2} - 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{e^{2}} - 1)$

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10、设 $n$ 为偶数，则 $7^{n} + C_{n}^{1} 7^{n - 1} + C_{n}^{2} 7^{n - 2} + \dots + C_{n}^{n - 1} \cdot 7$ 被 $9$ 整除的余数是（）

A、0 B、1 C、2 D、 $- 1$

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11、若直线 $l : k x - y + 3 k = 0$ 与曲线 $C : \sqrt{1 - x^{2}} = y - 1$ 有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$ B、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ C、 $(0, \frac{3}{4})$ D、 $(0, \frac{3}{4}]$

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12、已知正态分布 $N (1, σ^{2})$ 的正态密度曲线如图所示， $X ~ N (1, σ^{2})$ ，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）

A、 $\frac{1}{2} - P (X \leq 0)$ B、 $\frac{1}{2} - P (X \geq 2)$ C、 $\frac{1}{2} - P (1 \leq X \leq 2)$ D、 $\frac{1}{2} P (X \leq 2) - \frac{1}{2} P (X \leq 0)$

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13、直线 $l_{1}$ 的方向向量 ${\vec{ν}}_{1} = (1 ， 0 ， - 1)$ ，直线 $l_{2}$ 的方向向量 ${\vec{ν}}_{2} = (- 2 ， 0 ， 2)$ ，则不重合直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的位置关系是（）

A、相交 B、平行 C、垂直 D、不能确定

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14、已知i为虚数单位，复数 $z_{1} = 1 + 2 i, z_{2} = 2 - i$ ，则（）

A、 $z_{1}$ 的共轭复数为 $- 1 + 2 i$ B、 $|z_{1}| = |z_{2}|$ C、 $z_{1} + z_{2}$ 为实数 D、 $z_{1} \cdot z_{2}$ 在复平面内对应的点在第一象限

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15、如图， $△ A^{'} O^{'} B^{'}$ 为水平放置的 $△ A O B$ 斜二测画法的直观图，且 $O^{'} A^{'} = \frac{3}{2}, O^{'} B^{'} = 4$ ，则 $△ A O B$ 的周长为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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16、函数 $f (x) = A tan (ω x + φ) (ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (\frac{13 π}{12}) =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、 $3 \sqrt{3}$

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17、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ， “存在 $m, n \in [0, \frac{π}{2}]$ ，函数 $f (x)$ 的图象既关于直线 $x = m$ 对称，又关于点 $(n, 0)$ 对称”是“ $ω \geq 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段ABCD，该曲线段可近似看作函数 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ ， $x \in [- 4, 0]$ 的图象，图象的最高点坐标为 $C (- 1, 2)$ .第二部分是长为1千米的直线段DE， $D E // x$ 轴.跑道的最后一部分是以O为圆心的一段圆弧 $\overset{⌢}{E F}$ .

(1)、若新校门位于图中的B点，其离AF的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的万象楼，求该学生走过的路BO的长；

(2)、若点P在弧 $\overset{⌢}{E F}$ 上，点M和点N分别在线段 $O F$ 和线段 $O E$ 上，若平行四边形 $O M P N$ 区域为学生的休息区域，记 $∠ P O F = θ$ ，请写出学生的休息区域 $O M P N$ 的面积S关于 $θ$ 的函数关系式，并求当 $θ$ 为何值时， $S$ 取得最大值.

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19、如图所示正四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A = S B = S C = S D = 2$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点，且 $S P = 3 P D$ ，求：

(1)、正四棱锥 $S - A B C D$ 的表面积；

(2)、若 $M$ 为 $S A$ 的中点，求证： $S C / /$ 平面 $B M D$ ；

(3)、侧棱 $S C$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $B E / /$ 平面 $P A C$ .若存在，求 $\frac{S E}{E C}$ 的值；若不存在，试说明理由.

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20、已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $g (x) = |x - 2|$ .

(1)、求方程 $f (x) = g (x)$ 的解集；

(2)、定义： $\max \{a, b\} = \{\begin{cases} a, a \geq b \\ b, a < b \end{cases}$ .已知定义在 $[0, + \infty)$ 上的函数 $h (x) = \max \{f (x), g (x)\}$ ，求函数 $h (x)$ 的解析式；

(3)、在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数 $h (x)$ 的简图，并根据图象写出函数 $h (x)$ 的单调区间和最小值.

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