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相关试卷

1、下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0), \vec{e_{2}} = (1, - 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (1, 2), \vec{e_{2}} = (- 1, - 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (- 3, 5), \vec{e_{2}} = (- 6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2), \vec{e_{2}} = (5, 7)$

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2、已知复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $1$

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3、对于三个实数 $a, b, k$ ，若 $(a^{2} - 1) (b^{2} - 1) \geq k |(a - b) (1 - a b)|$ 成立，则称 $a, b$ 具有“性质 $k$ ”

(1)、写出一个数 $a$ 使之与2具有“性质1”，并说明理由；

(2)、若 $2^{x} - 2^{- x}, \sqrt{2}$ 具有“性质0”，求 $x$ 的取值范围；

(3)、若 $\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{2}$ ，且 $sin x$ ， $cos x$ 具有“性质 $k$ ”，求实数 $k$ 的最大值．

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $E, F$ 分别为 $P B, P C$ 的中点， $G$ 为线段 $A C$ 上一动点， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明：平面 $B D F ⊥$ 平面 $A E G$ ；

(2)、当 $C G = 3 A G$ 时，证明： $E G / /$ 平面 $B D F$ ；

(3)、若 $A D = 2 P D$ ，四面体 $B G E F$ 的体积等于四棱锥 $P - A B C D$ 体积的 $\frac{3}{32}$ ，求 $\frac{G C}{A C}$ 的值．

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $2 b cos C = 2 a + c$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ，且 $sin A sin C = \frac{1}{4}$ ，求 $a + c$ ．

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6、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如下图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式．

(2)、若将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ 倍，再将其图象沿x轴向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，求不等式 $g (x) > 1$ 的解集．

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1), |\vec{b}| = \sqrt{2}$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 3$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求k的值．

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8、已知三棱锥 $S - A B C$ 的底面是边长为3的等边三角形，且 $S A = A B = S B$ ，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为．

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9、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的周期为2的奇函数，当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (\frac{7}{2})$ 的值为．

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10、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，已知平面 $α ⊥ A C_{1}$ ，则关于平面α截正方体所得截面的判断正确的是（）

A、截面形状可能为正三角形 B、平面α与平面ABCD所成二面角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、截面形状可能为正六边形 D、截面面积的最大值为 $3 \sqrt{3}$

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11、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ ，满足 $f (\frac{π}{3} + x) = f (\frac{π}{3} - x)$ ，且 $f (\frac{π}{2}) > f (π)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、 $sinφ = - \frac{1}{2}$ C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2},π)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{13}{12} π, 0)$ 对称

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12、下列说法正确的是（）

A、任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ B、若向量 $\vec{P A} = λ \vec{P B} + μ \vec{P C}$ ，且 $λ + μ = 1 (0 < λ < 1)$ ，则 $A, B, C$ 三点共线 C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是锐角 D、已知| $|\vec{a}| = 6$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，且 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{3}{4} π$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- 3 \sqrt{2} \vec{b}$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x + 1|, x \leq 0 \\ |{log}_{4} x|, x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = k$ 有4个不同的根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{3} x_{4} - x_{1} - x_{2}$ 的值为（）

A、3 B、0 C、2 D、6

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14、若圆台侧面展开图扇环的圆心角为 $180 °,$ 其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$

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15、平面 $α$ 与平面 $β$ 平行的充分条件可以是（）

A、 $α$ 内有无穷多条直线都与 $β$ 平行 B、直线 $m ⊄ α, m ⊄ β$ ，且 $m // α, m // β$ C、直线 $m \subset α$ ，直线 $n \subset β$ ，且 $m // β, n // α$ D、 $α$ 内的任何一条直线都与 $β$ 平行

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16、已知 $tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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17、设 $a = 8^{0.4}, b = {(\frac{1}{2})}^{- 1.3}, c = \lg \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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18、设复数z满足 $(1 - i) z = 3 - i^{3}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $1 - 2i$ D、 $1 + 2 i$

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19、若集合 $A = \{x \in Z| - 2 < x < 5\}, B = \{x| x^{2} < 4 x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 4)$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 ${- 1}$ D、 $(- 2, 4)$

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20、如图1，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 2$ ， E为 $A B$ 的中点，将 $A B$ 沿 $D E$ 向上翻折，得到四棱锥 $A_{1} - B C D E$ （图2）.

(1)、若 $A_{1} C = 2$ ，求异面直线 $A_{1} E$ 与 $B C$ 的夹角 $B C$ ；

(2)、求证： $D E ⊥ A_{1} C$ ；

(3)、在翻折过程中，当二面角 $A_{1} - C D - B$ 为 $\frac{π}{4}$ 时，求四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 的体积.

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