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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，若 $A C^{2} + B C^{2} = 5 A B^{2}$ ，则 $\frac{\tan C}{\tan A} + \frac{\tan C}{\tan B} =$ ．

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2、在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点， $C D = \sqrt{3}$ ，则 $A B + 2 B C$ 的取值范围为（）

A、 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3}]$ B、 $(2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{6}]$ C、 $(2 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}]$ D、 $(0, 4 \sqrt{3}]$

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3、在四面体 $A B C D$ 中，点E满足 $\vec{D E} = λ \vec{D C} ，$ F为BE的中点，且 $\vec{A F} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{6} \vec{A D} ，$ 则实数λ=（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4、若“ $1 < x < 2$ ”是“ $|x - 2 m| < 1$ ”的充分不必要条件，则实数 $m$ 的取值范围为

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5、直线 $3 x + \sqrt{3} y + 5 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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6、类比于二维空间（即平面），向量 $\vec{a}$ 可用二元有序数组 $(a_{1}, a_{2})$ 表示，若 $n$ 维空间向量 $\vec{a}$ 用 $n$ 元有序数组 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 表示，记为 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ ，且 $n$ 维空间向量满足 $|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}, |\vec{b}| = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + \dots + b_{n}^{2}}, \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \dots + a_{n} b_{n}$ .

(1)、当 $\vec{a} = (1, 2, 3), \vec{b} = (3, 2, 1)$ ，求 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ .

(2)、证明： $(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + \dots + b_{n}^{2}) \geq {(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \dots + a_{n} b_{n})}^{2}$ ；

(3)、若 $a, b, c$ 是正实数，且满足 $a + b + c = 3$ ，求证： ${(a + \frac{1}{a})}^{2} + {(b + \frac{1}{b})}^{2} + {(c + \frac{1}{c})}^{2} \geq 12$ .

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7、如图，边长为3的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ 是 $B C$ 的中点，将 $△ A E D$ 、 $△ D C F$ 分别沿 $D E$ 、 $D F$ 折起，使 $A$ 、 $C$ 两点重合于点 $A^{'}$ ，连接 $E F, A^{'} B$ .

(1)、求证： $A^{'} D ⊥$ 平面 $A^{'} E F$ ；

(2)、求四棱锥 $A^{'} - D E B F$ 的体积.

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8、在一次选拔比赛中，每个选手都需要进行5轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四、五轮问题的概率分别为 $\frac{6}{7}$ 、 $\frac{4}{5}$ 、 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{1}{3}$ ，且各轮问题能否正确回答互不影响.

(1)、求该选手进入第二轮才被淘汰的概率；

(2)、求该选手至多进入第四轮考核的概率.

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 2 c$ ，且 $\frac{b^{2}}{c^{2}} = 5 + 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $b^{2}$ .

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x e^{x}$ .

(1)、求 $f (- 2)$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式.

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11、苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究后发明的对数，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数 $N$ 可以表示成 $N = a \times 10^{n} (1 \leq a < 10, n \in Z)$ ，则 $lg N = n + lg a (0 \leq lg a < 1)$ ，这样我们可以知道 $N$ 的位数为 $n + 1$ .已知正整数 $M$ ，若 $M^{10}$ 是10位数，则 $M$ 的值为.（参考数据： $10^{0.9} \approx 7.94, 10^{1.1} \approx 12.56$ ）

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12、已知命题“ $\exists x \in [1, 5]$ ，使得 $e^{x} - \frac{1}{x} - a < 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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13、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{20}$ 的平均数为5，则数据 $3 + 2 x_{1}, 3 + 2 x_{2}, \dots, 3 + 2 x_{20}$ 的平均数是.

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14、定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{3 π}{2} + x) = f (\frac{π}{2} - x)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 关于 $x = π$ 对称 C、 $f (2 π) = 1$ D、 $f (x)$ 是周期函数

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15、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别是棱 $A_{1} C_{1}, B C$ 的中点，则下列结论中一定正确的是（）

A、 $C C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ B、 $A F ⊥$ 平面 $C B B_{1} C_{1}$ C、 $E F$ ∥平面 $A_{1} B_{1} B A$ D、 $A E$ ∥平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$

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16、已知集合 $A = \{x | 0 < x \leq 3\}, B = \{x | - 1 \leq x < 1\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = [- 1, 3]$ B、 $A \cap B = (0, 1)$ C、 $A \cup B = (0, 1)$ D、 $A \cup B = [- 1, 3]$

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17、要得到 $y = sin (\frac{π}{3} - \frac{x}{4})$ 的图象，只需将函数 $y = sin \frac{x}{4}$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{4 π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{4 π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{8 π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{8 π}{3}$ 个单位长度

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18、某校高一年级数学周练满分100分，学生分数均在 $[40, 100]$ 内，将学生成绩分成6组并作出频率分布直方图，但不小心污损了部分图形
（如图所示），则该次数学成绩的中位数是（）

A、60分 B、75分 C、79.5分 D、85分

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19、向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (2, λ - 1), \vec{c} = (2, - 3)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b})$ ∥ $(\vec{c} - \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、5 B、 $- 5$ C、2 D、 $- 2$

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20、已知 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a = \sqrt{5}, c = \sqrt{10}$ ， $B = \frac{π}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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