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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 中， $\vec{A E} = 2 \vec{A B} ， \vec{B M} = 2 \vec{M C}$ ，若 $\vec{A F} = x \vec{A C}$ ，且 $E ， M ， F$ 三点共线，则 $x =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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2、设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）

A、若 $m / / α, n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α, α / / β$ ，则 $m / / β$ C、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ D、若 $m ⊥ α, m / / β$ ，则 $α ⊥ β$

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3、已知向量 $\vec{a} = (2 ， 0), \vec{b} = (1 ， 2)$ ，若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4、已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ ，则“ $α > 0$ ”是“ $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、函数 $f (x) = l n x + x - 2$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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6、已知集合 $A = \{- 1, 1, 3\}, B = \{0, 1, 3\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{1, 3\}$ B、 $\{- 1, 1, 3\}$ C、 $\{0, 1, 3\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 3\}$

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7、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，

(1)、若 $c \sin C - a \sin A = (c - b) \sin B$ ，
①求 $A$ ；
②若 $b c = 2$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ；

(2)、若 $cos 2 B + cos 2 C - cos 2 A = 1$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求实数 $t$ 的最小值．

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8、如图，在平面斜坐标系 $x O y$ 中， $∠ x O y = 60 °$ ，平面上任一点 $P$ 的斜坐标定义如下：若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ （其中 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别为与 $x$ 轴， $y$ 轴同方向的单位向量），则点 $P$ 的斜坐标为 $(x, y)$ ．此时有 $\vec{O A} = (1, 2)$ ， $\vec{O B} = (m, 4)$ ，试在该斜坐标系下探究以下问题：

(1)、若 $m = 3$ ，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值；

(2)、求与 $\vec{O A}$ 垂直的单位向量的坐标．

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9、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 6$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， AC边上的中线为BN，M为BC边上靠近B的四等分点，连接AM交BN于点P．

(1)、用 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A M}$ ，并计算AM的长；

(2)、求∠NPM的余弦值．

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10、已知 $m \in R$ ， $i$ 为虚数单位，复数 $z = m - 6 + (m^{2} + 2 m - 3) i$ .

(1)、若 $z \in R$ ，求m的值；

(2)、若复数z对应的点在第三象限，求m的取值范围.

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11、如图所示，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面 $E B_{1} C_{1} F$ 将三棱柱分成两部分，其中 $V_{1}$ 是三棱台 $A E F - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积， $V_{2}$ 是多面体 $B C F E B_{1} C_{1}$ 的体积，则 $V_{1} : V_{2}$ 的值是．

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12、如图，△ABC中，AB=AC=2，BC= $2 \sqrt{3}$ ，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．

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13、石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.电视塔以“宝石”为创造母体，上､下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底 $O$ 在同一平面内的三个测量基点 $A, B, C$ ，且在 $A, B, C$ 处测得该塔顶点 $P$ 的仰角分别为 $\frac{π}{6}, \frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{3}, A B = B C = \frac{280 \sqrt{6}}{3}$ 米，则石家庄电视塔的塔高 $O P$ 为米.

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14、设点O是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则O为 $△ A B C$ 的重心； B、若 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则O为 $△ A B C$ 的垂心； C、若 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0, \frac{\vec{B A}}{| \vec{B A} |} \cdot \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形； D、若 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则△BOC与△ABC的面积之比为 $S_{△ B O C} : S_{△ A B C} = 1 : 6$ ．

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1)$ $\vec{b} = (1, t)$ ，则下列说法正确的是（　　）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则t的值为 $- 2$ B、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值为1 C、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则t的值为2 D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则t的取值范围是 $t < 2$

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16、已知 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ B、 $(- 1, - 1)$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(1, 1)$

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17、已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（）

A、 $(3 + 3 \sqrt{2}) π$ B、 $\frac{(9 + 9 \sqrt{2}) π}{2}$ C、 $(4 + 6 \sqrt{2}) π$ D、 $(6 + 6 \sqrt{2}) π$

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18、在 $△ A B C$ 中，已知 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

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19、如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA^'B^'C^'中， $B^{'} C^{'} = 1, O C^{'} = \sqrt{2}$ ，则该平面图形的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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20、若 $α$ 是第四象限角，则复数 $z = \sin α + i \cos α$ 在复平面内所对应的点在第几象限（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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