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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} + 2$ ，则 $S_{5} =$ .

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2、已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为.

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3、把函数 $f (x) = \cos 3 x$ 的图象向右平移 $a (a > 0)$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 的图象关于点 $(2 a, 0)$ 对称，则a的值可能为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{10}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{12}$

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4、已知曲线 $y = \ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 m x + 2 y + 3 m = 0$ 相切，该圆的半径为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或1

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5、已知 $α$ ， $β$ 是两个平面，m，n，l是三条直线，且 $α \cap β = l$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m ⊥ l$ ，则“ $m ⊥ n$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、虚数z满足 $z^{2} + (3 - i) z + 2 - i = 0$ ，则z的虚部为（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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7、已知集合 $A = \{x| 1 < |x + 1| < 3\}$ ， $B = \{- 3, - 1, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 1\}$ B、 $\{- 3, 1\}$ C、 $\{- 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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8、双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的焦距为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、4

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9、若 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 4, 2), \vec{c} = (2, k),$ $\vec{c} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(\frac{6}{5}, \frac{3}{5})$ B、 $(- \frac{6}{5}, - \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{6}{5}, \frac{3}{5})$ D、 $(\frac{6}{5}, - \frac{3}{5})$

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10、已知函数 $f (x) = (x - 1) (e^{x} - 1) - a (a > 0)$ ，证明：

(1)、 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减，在 $(1, + \infty)$ 上单调递增；

(2)、若 $f (x)$ 的两个零点为 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则
（i） $x_{1} + x_{2} < 1$ ；
（ii） $x_{2} - x_{1} < 1 + \frac{a e}{e - 1}$ .

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11、高考招生制度改革后，我省实行“3+1+2”模式，“3”为语文、数学、外语3门统一科目，“1”为考生在物理、历史两门科目中选择1门作为首选科目，“2”为考生在思想政治、地理、化学、生物学4门科目中选择2门作为再选科目.有人认为高考选考科目的确定与性别有关，为此，某教育机构随机调查了一所学校的 $n$ 名学生，其中男生占调查人数的 $\frac{1}{2}$ ，已知男生有 $\frac{9}{10}$ 的人选了物理，而女生有 $\frac{7}{10}$ 的人选物理.

(1)、完成下列 $2 \times 2$ 列联表：
物理
历史
总计
男生
女生
总计
$n$

(2)、若在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可认为“性别与选科有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？

(3)、从物理类考生和历史类考生中各抽取1人，若抽取的2人性别恰好相同，求这2人是女生的概率.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.05
0.01
0.005
0.001
$χ_{α}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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12、已知数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $3 a_{2} = a_{3} + 2$ ，且当 $n \geq 2$ 时， $S_{n + 1} = 3 S_{n} - 2 S_{n - 1}$ .

(1)、证明： $\{a_{n}\}$ 是等比数列，并求出 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} (4 a_{n})$ ，数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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13、某工厂制造甲、乙、丙三件产品，制造过程必须先后经过两道工序.当第一道工序完成并合格后方可进入第二道工序，两道工序过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{3}{4}$ $\frac{2}{3}$ ，经过第二道工序后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{4}{5}$ ， $\frac{9}{10}$ .

(1)、求第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率；

(2)、若前后两道工序均合格的产品为合格产品，记合格产品的个数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列与数学期望.

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14、已知 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 的偶函数，当 $x > 0$ 时，有 $x f^{'} (x) - 2 f (x) = (x - 2) e^{x} + 2$ ，且 $f (1) = e - 2$ ，则 $f (x) =$ ；不等式 $f (x) > e^{3} - 10$ 的解集为.

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15、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1 (n \in N^{*})$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前2024项和为.

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16、某厂家生产的产品质量指标服从正态分布 $N (171, σ^{2})$ .质量指标介于162至180之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需调整生产工艺，使得 $σ$ 至多为.（若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (|X - μ| < 3 σ) = 0.9973$ ）

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17、甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人.下列说法正确的是（）

A、已知第2次传球后球在甲手中，则球是由乙传给甲的概率为 $\frac{1}{3}$ B、已知第2次传球后球在丙手中，则球是由丁传给丙的概率为 $\frac{1}{3}$ C、第 $n$ 次传球后球回到甲手中的不同传球方式共有 $\frac{1}{4} [3^{n} + 3 \cdot {(- 1)}^{n}]$ 种 D、第 $n$ 次传球后球在乙手中的概率为 $\frac{1}{4} [1 - {(- \frac{1}{3})}^{n}]$

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18、已知数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列选项中，能使 $\{a_{n}\}$ 为等差数列的条件有（）

A、 $S_{n} = (n + 1) (n - 1)$ B、 $S_{n} = a_{n}$ C、对 $\forall m, n \in N^{*}$ ，有 $a_{n} = a_{m} + 2 (n - m)$ D、 $a_{n} = \{\begin{array}{l} 4 k - 3, n = 2 k - 1 \\ 4 k - 1, n = 2 k \end{array}, k \in N^{*}$

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $P$ 有且只有一条直线与曲线 $y = \ln x$ 相切，则点 $P$ 的坐标可以是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(2, 0)$ D、 $(1, 1)$

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20、佛山第一峰位于高明区皂幕山，其海拔最高达到804.5米.要登上皂幕山的最高峰，一共需要走6666级阶梯.小明和小吉同时从第1级阶梯出发登峰，假设他们在前30分钟中，每分钟走50级阶梯，由于体力有限，小明每隔30分钟，其每分钟走的阶梯数减少5级，而小吉每隔30分钟，其速度降低10%，直到登上最高峰，则（）（参考数据： ${0.9}^{4} \approx 0.66$ ， ${0.9}^{5} \approx 0.59$ ， ${0.9}^{6} \approx 0.53$ ， ${0.9}^{7} \approx 0.48$ ）

A、小明到达最高峰的时间比小吉早超过30分钟 B、小吉到达最高峰的时间比小明早超过30分钟 C、小明到达最高峰的时间比小吉早，但差距不超过30分钟 D、小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过30分钟

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	物理	历史	总计
男生
女生
总计			$n$

$α$	0.05	0.01	0.005	0.001
$χ_{α}$	3.841	6.635	7.879	10.828