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相关试卷

1、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + b x + c \leq 1 (b, c \in R)$ 的解集为 $[- \frac{3}{2}, 2]$ ，则 $b + c$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、2 D、 $- \frac{5}{2}$

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2、 $z = \frac{1 + i}{i} - (1 - i) (2 + 3 i)$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 - 2 i$ B、 $- 4 - 2 i$ C、 $2 + 2 i$ D、 $- 4 + 2 i$

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3、若 $α \in (0, \frac{π}{2}), sin α = \frac{2}{7}$ ，则 $tan α =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{7}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{5}{7}$

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4、函数 $f (x) = lg (3 x^{2} - 5 x)$ 的定义域为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(0, \frac{5}{3})$ C、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{5}{3}, + \infty)$ D、 $(\frac{5}{3}, + \infty)$

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5、如图， $S - A B C$ 是正三棱锥且侧棱长为 $a$ ，两侧棱 $S A, S C$ 的夹角为 $30 °, E, F$ 分别是 $S A, S C$ 上的动点，则三角形 $B E F$ 的周长的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} a$ B、 $\sqrt{3} a$ C、 $\sqrt{5} a$ D、 $\sqrt{6} a$

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6、空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2 π$ 与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 $\frac{π}{3}$ ，故其各个顶点的曲率均为 $2 π - 3 \times \frac{π}{3} = π$ .如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $A$ 的曲率为 $\frac{2 π}{3}$ ， $N$ ， $M$ 分别为 $A B$ ， $C C_{1}$ 的中点，且 $A B = A C$ .

(1)、证明： $C N ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = \sqrt{2} A B$ ，求二面角 $B_{1} - A M - C_{1}$ 的余弦值；

(3)、表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为 $D$ ，棱数为 $L$ ，面数为 $M$ ，则有： $D - L + M = 2$ .利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.

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7、据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷

		按造林方式分
地区	造林总面积	人工造林	飞播造林	新封山育林	退化林修复	人工更新
内蒙	618484	311052	74094	136006	90382	6950
河北	583361	345625	33333	135107	65653	3643
河南	149002	97647	13429	22417	15376	133
重庆	226333	100600		62400	63333
陕西	297642	184108	33602	63865	16067
甘肃	325580	260144		57438	7998
新疆	263903	118105	6264	126647	10796	2091
青海	178414	16051		159734	2629
宁夏	91531	58960		22938	8298	1335
北京	19064	10012		4000	3999	1053

（Ⅰ）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；

（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？

（Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．

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8、如图，四边形 $A B C D$ 是圆柱 $O E$ 的轴截面，点 $F$ 在底面圆 $O$ 上，圆 $O$ 的半径为1， $A F = \sqrt{3}$ ，点 $G$ 是线段 $B F$ 的中点.

(1)、证明： $E G / /$ 平面 $D A F$ ；

(2)、若直线 $D F$ 与圆柱底面所成角为45°，求三棱锥 $C - A D F$ 的体积.

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9、对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间 $[70, 90)$ 的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和 $\frac{277}{5}$ ，第三组 $[70, 80)$ 的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组 $[80, 90)$ 的学生实际成绩的平均数与方差.

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10、已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4， $B C = 2 \sqrt{6}$ ， PB＝PC＝3， $P A ⊥$ 平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是.

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11、如图，一架无人机距离地面的高度 $P Q = 200$ m，在 $Q$ 处观测到岳麓山山顶 $C$ 的仰角为15°，地面上 $A$ 处的俯角为45°，若 $∠ B A C = 60 °$ ，则岳麓山的高度 $B C$ 为m.

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12、复数 $z = \frac{i}{3 + 4 i}$ ，则 $z + \bar{z} =$ .

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13、点 $O$ 在 $△ A B C$ 所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A、若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心（外接圆圆心） B、若 $\vec{A O} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}| \sin B} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}| \sin C}) (λ \in R)$ ，则动点 $O$ 的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的重心 C、若 $2 \vec{O A} + \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ， $S_{△ A O C}$ ， $S_{△ A B C}$ 分别表示 $△ A O C$ ， $△ A B C$ 的面积，则 $S_{△ A O C} : S_{△ A B C} = 1 : 6$ D、若 $\vec{O A} \cdot (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{C A}}{|\vec{C A}|}) = \vec{O B} \cdot (\frac{\vec{B A}}{|\vec{B A}|} + \frac{\vec{C B}}{|\vec{C B}|}) = \vec{O C} \cdot (\frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} + \frac{\vec{C A}}{|\vec{C A}|}) = 0$ ，则点 $O$ 是 $△ A B C$ 的内心

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14、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A_{1} B$ 与 $E F$ 所成的角的大小为 $60^{\circ}$ B、直线 $A D_{1} / /$ 平面 $D E F$ C、平面 $D E F ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ D、直线 $C D$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$

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15、下列说法正确的有（）

A、某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表本班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为10% B、已知一组数据1，2， $m$ ， 6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C、将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍 D、若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小

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16、如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若点 $E$ ， $F$ 分别满足 $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，三棱柱高为3， $△ A B C$ 面积为 $3 \sqrt{3}$ ，则几何体 $B_{1} C_{1} - B C F E$ 的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{11 \sqrt{3}}{3}$

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17、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ，且 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{2}{3} \vec{a}$ ，则 $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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18、已知 $M$ 是四面体 $O A B C$ 的棱 $B C$ 的中点，点 $N$ 在线段 $O M$ 上，点 $P$ 在线段 $A N$ 上，且 $M N = \frac{1}{2} O N ， A P = \frac{3}{4} A N$ ，以 $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}$ 为基底，则 $\vec{O P}$ 可以表示为（）

A、 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ B、 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ C、 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ D、 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$

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19、已知一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，则这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是（）

A、29 B、30 C、31 D、32

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20、如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且 $O^{'} A^{'} ∥ B^{'} C^{'}$ ， $O^{'} A^{'} = 2 B^{'} C^{'} = 2$ ， $A^{'} B^{'} = 1$ ，则该平面图形的高为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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