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相关试卷

1、某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求 $P (X \leq n) \geq 0.5$ ，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 $n = 19$ 与 $n = 20$ 之中选其一，应选用哪个？

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2、某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为 $A$ 类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为 $B$ 类同学）.现用分层抽样方法（按 $A$ 类、 $B$ 类分两层）从该年级的学生中共抽查200名同学，如果以身高达到 $165 cm$ 作为达标的标准，对抽取的200名学生，得到以下列联表：

身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
80

不经常参加体育锻炼

30

总计

200

(1)、完成上表；

(2)、能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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3、甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为

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4、马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 $n (n \in N^{*})$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{1} =$ ； $p_{n} =$ ．

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5、已知函数 $f (x)$ （ $f (x)$ 不恒为零），其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，对于任意的 $x, y \in R$ ，满足 $f (x + y) f (x - y) = f^{2} (x) - f^{2} (y)$ ，且 $f (1) = 1, f (2) = 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、曲线 $f^{'} (x + 1)$ 关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $f (2 n) = 0, n \in N$ D、 $\sum_{k = 1}^{8} f (k) = - 1$

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6、设复数z的共轭复数为 $\bar{z}$ ， i为虚数单位，若 $(z + 2) i = 1 + i$ ，则（）

A、复数z的虚部为 $- 1$ B、 $|z| = 2$ C、 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在第一象限 D、 $z^{8} = 16$

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7、如图，已知 $M$ 为双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上一动点，过 $M$ 作双曲线 $E$ 的切线交 $x$ 轴于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ O M$ 于点 $D$ ， $|O D| \cdot |O M| = 2 b^{2}$ ，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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8、已知 $\bar{A}$ 、 $\bar{B}$ 分别为随机事件A、 $B$ 的对立事件， $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则下列等式错误的是（）

A、 $P (B |A) + P (\bar{B} |A) = P (A)$ B、 $P (B |A) + P (\bar{B} |A) = 1$ C、若A、 $B$ 独立，则 $P (A |B) = P (A)$ D、若A、 $B$ 互斥，则 $P (A |B) = P (B |A)$

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9、甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.7，甲、乙每次投篮的结果相互独立.抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5，则第三次投篮的人是甲的概率为（）

A、0.35 B、0.525 C、0.575 D、0.595

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10、连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 $A =$ “第一次出现2点”， $B =$ “第二次的点数小于5点”， $C =$ “两次点数之和为9”， $D =$ “两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（）

A、B与A不互斥且相互独立 B、B与C互斥且不相互独立 C、C与A互斥且不相互独立 D、D与A不互斥且相互独立

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11、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $A = 2, φ = \frac{π}{6}$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 的图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，所得的图象关于 $y$ 轴对称

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12、某商店的一位售货员，发现顾客购买商品后有4种支付方式：现金支付，微信支付，支付宝支付，银联支付，其中用现金支付的概率是 $0.3$ ，支付宝支付的概率是 $0.2$ ，银联支付的概率是 $0.1$ ，则选择用微信支付的概率为（）

A、 $0.1$ B、 $0.2$ C、 $0.3$ D、 $0.4$

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13、已知 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3 \vec{b})$ 等于（　　）

A、10 B、 $- 10$ C、3 D、 $- 3$

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14、为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击中靶心的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第 $n + 1$ 次击中靶心的概率也为p，否则第 $n + 1$ 次击中靶心的概率为 $\frac{p}{2}$ ．

(1)、求甲选手得分X的分布列及其数学期望；

(2)、有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 $F (x) = P (X \leq x)$ ， $x \in R$ 称为X的分布函数，对于任意实数 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，有 $P (x_{1} < X \leq x_{2}) = P (X \leq x_{2}) - P (X \leq x_{1}) = F (x_{2}) - F (x_{1})$ ．因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间 $(x_{1}, x_{2}]$ 上的概率．
（i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）；
（ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数．

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15、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为4，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，其中 $F_{2}$ 到其渐近线的距离为1．

(1)、求双曲线 $Γ$ 的标准方程：

(2)、若点P是双曲线 $Γ$ 在第一象限的动点，双曲线 $Γ$ 在点P处的切线 $l_{1}$ 与x轴相交于点T．
（i）证明：射线 $P T$ 是 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线；
（ii）过坐标原点O的直线 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 垂直，与直线 $P F_{1}$ 相交于点Q，求 $\begin{matrix} △ \end{matrix} Q F_{1} F_{2}$ 面积的取值范围．

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 和等差数列 $\{b_{n}\}$ ，满足 $a_{n + 1} > a_{n}$ ， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} = b_{2}$ ， $3 a_{3} = 4 b_{3}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，数列 $\{\frac{T_{n}}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $P_{n}$ ．证明： $P_{n} < \frac{2^{n + 1}}{n + 1} - 1$ ．

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17、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ， $A A_{1} = 2$ ， E，F分别是 $A C$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，P是线段 $E F$ 上的动点．

(1)、当P是线段 $E F$ 的中点时，求点P到平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离；

(2)、当平面 $P C C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 的夹角的余弦值为 $\frac{9 \sqrt{145}}{145}$ 时，求 $E P$ ．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + x - 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线与二次曲线 $y = a x^{2} + (2 a + 5) x - 2$ 只有一个公共点，求实数a的值．

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19、已知E，F是直角 $△ A B C$ 的外接圆上的两个动点，且 $|E F| = 8$ ， P为 $△ A B C$ 的边上的动点，若 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的最大值为48，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为．

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20、已知函数 $y = f (x + 2) - 1$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，则 $\sum_{i = 1}^{4051} f (i - 2024) =$ ．

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	身高达标	身高不达标	总计
经常参加体育锻炼	80
不经常参加体育锻炼		30
总计			200

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828