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相关试卷

1、如图所示，已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于 $A ， B$ 两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G， $\vec{A B} = 2 \vec{B F}$ ，且三点 $A ， O ， G$ 共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．

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2、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2，P是直线 $A_{1} D$ 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）

A、 $B P$ 的最小值为 $\sqrt{6}$ B、 $P A + P C$ 的最小值为 $2 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ C、三棱锥 $B_{1} - A C D_{1}$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ D、以点 $B$ 为球心， $\sqrt{2}$ 为半径的球面与平面 $A B_{1} C$ 的交线长 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$

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3、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (x + 1)$ 是偶函数，当 $x \in [0, 1]$ ， $f (x) = x^{2} + x$ ，则下列说法中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、4是函数 $f (x)$ 的周期 C、 $f (2023) + f (2024) = 0$ D、方程 $f (x) = |\ln x|$ 恰有4个不同的根

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4、如图为函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0)$ 的部分图象，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{4 π}{3}, 0)$ 成中心对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{5 π}{12}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{3}$ 后关于 $y$ 轴对称

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5、油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为 $60^{\circ}$ 时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则 $e^{2} =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $7 - 2 \sqrt{3}$ C、 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{3} - 5$

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6、下列说法错误的是（）

A、若随机变量 $ξ 、 η$ 满足 $η = 2 ξ - 1$ 且 $D (ξ) = 3$ ，则 $D (η) = 12$ B、已知随机变量 $X$ ～ $B (n, p)$ ，若 $E (X) = 2, D (X) = 1$ ，则 $p = \frac{1}{2}$ C、若事件 $A 、 B$ 相互独立，则 $P (A |B) = P (A)$ D、若 $A 、 B$ 两组成对数据的相关系数分别为 $r_{A} = 0.95$ 、 $r_{B} = - 0.98$ ，则 $A$ 组数据的相关性更强

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比不为1，若 $a_{1} = 2$ ，且 $3 a_{1}, a_{2}, - a_{3}$ 成等差数列，则 $a_{n} =$ （）

A、 $2 \times 3^{n - 1}$ B、 $3^{n}$ C、 $2 \times {(- 3)}^{n - 1}$ D、 ${(- 3)}^{n}$

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8、抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的点到其准线的距离与到直线 $y = x + 3$ 的距离之和的最小值为（）．

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、4 D、5

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9、复数 $\frac{1 - 2 i}{3 - i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m + 3} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1 (m > 1)$ 的焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，且点 $P$ 不在直线 $F_{1} F_{2}$ 上，则“ $m > 6$ ”是“ $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长大于 $12$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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11、方程 $x^{2} + y^{2} - 4 y + m = 0$ 表示一个圆，则实数 $m$ 的取值范围为．

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12、如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥 $S - A B C D$ ，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点 $S$ 出发，再次回到顶点 $S$ 时停止爬行.

(1)、求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点 $S$ 的概率；

(2)、在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及其数学期望 $E (ξ)$ ；

(3)、设电子蛐蛐爬行 $n (n \geq 2)$ 米后恰好停止爬行（首次回到顶点 $S$ ）的概率记为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ （用 $n$ 表示）.

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13、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 是正三角形，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B D ⊥ C D$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点， $\vec{A O} = 2 \vec{O E}$ ．

(1)、求证： $O$ 为三棱锥 $A - B C D$ 外接球的球心；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $∠ B C D = 60 °$ ， $\vec{B G} = λ \vec{B D}$ ，求平面 $A E G$ 与平面 $A C D$ 所成锐二面角的余弦值最大时 $λ$ 的值．

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14、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (2, - 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, 4)$ ．

(1)、求 $|2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ 的值；

(2)、求向量 $\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ 夹角的余弦值．

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15、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (3 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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16、已知 $a \in R$ ，若 $z = \frac{a + i}{2 i - 1}$ 为纯虚数，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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17、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $(c - \sqrt{2} b) \cos A + a \cos C = 0$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $b + c = 1 + \sqrt{3} + \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且外接圆直径为 $2 \sqrt{2}$ ，求角 $B$ 取何值时， $\frac{2 b^{2} + 3 a^{2}}{2 b}$ 有最小值，并求出最小值.

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18、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $\forall x \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}], {[f (x)]}^{2} - m f (x) - 1 \leq 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，E为线段 $A B$ 的中点， $P A = A B = 2$ ．

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、求点E到平面 $P B D$ 的距离．

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20、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ ，且 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = 1, {\vec{e}}_{1}$ 与 ${\vec{e}}_{2}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}, \vec{m} = λ \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{n} = 3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$

(1)、求证： $(2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}) ⊥ \vec{e_{2}}$

(2)、若 $|\vec{m}| = |\vec{n}|$ ，求 $λ$ 的值；

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