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相关试卷

1、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B B_{1} = 2$ ， $D, E$ 分别为 $A C, B C$ 的中点，则多面体 $D E - A_{1} A B B_{1}$ 体积为．

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2、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{5}{6} π$ ，且 $|\vec{a}| = \sqrt{5}$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量坐标为．

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3、如图，正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的上下底面边长分别为3和6，侧棱长为3，则下列结论中正确的有（）

A、过AC的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为 $6 \sqrt{3} + 6$ B、棱长为 $\frac{5}{2}$ 的正四面体可以在该棱台内随意转动 C、直径为 $\sqrt{6}$ 的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切） D、该三棱台可以整体放入直径为 $4 \sqrt{3}$ 的球内

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4、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是平面 $α$ 内两个不共线的向量，则下列选项中正确的是（）

A、平面 $α$ 内存在向量不能表示为“ $λ \vec{e_{1}} + μ \vec{e_{2}} (λ, μ \in R)$ ”的形式 B、对于平面 $α$ 内的任意向量 $\vec{a}$ ，有且仅有一个实数对 $(λ, μ)$ ，使得使 $\vec{a} = λ \vec{e_{1}} + μ \vec{e_{2}}$ C、若共线的非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = λ_{1} \vec{e_{1}} + μ_{1} \vec{e_{2}}, \vec{b} = λ_{2} \vec{e_{1}} + μ_{2} \vec{e_{2}}$ ，则存在实数 $λ$ ，使得 $λ_{1} + μ_{1} = λ (λ_{2} + μ_{2})$ D、若实数 $λ, μ$ 满足 $λ \vec{e_{1}} + μ \vec{e_{2}} = \vec{0}$ ，则 $λ = μ = 0$

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5、若 $10^{a} = 2, 10^{b} = 5$ ，则（）

A、 $a + b > 1$ B、 $a b < \frac{1}{4}$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} < \sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2} < \frac{1}{2}$

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6、若 $\frac{m}{cos 40^{\circ}} - \sqrt{3} tan 10^{\circ} - 1 = 0$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、1

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7、在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，若 $A B = 4$ ， $C D = 2$ ，且 $\vec{E F} \cdot \vec{C D} = - 4$ ，则 $|\vec{E F}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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8、已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（）

A、 $\{2 \sqrt{2}\}$ B、 $(0, 2 \sqrt{2}]$ C、 $(0, 4)$ D、 $[2 \sqrt{2}, 4)$

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9、唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力､开放的心态､丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为 $r$ ，酒杯容积为 $\frac{10 π r^{3}}{3}$ ，则其内壁表面积为（）

A、 $\frac{10 π r^{2}}{3}$ B、 $4 π r^{2}$ C、 $\frac{14 π r^{2}}{3}$ D、 $\frac{22 π r^{2}}{3}$

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10、在 $△ A B C$ 中，“ $a sin A = b sin B$ ”是“ $△ A B C$ 为等腰三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、在 $△ A B C$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $F$ 是 $C E$ 上靠近 $C$ 的三等分点，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{9} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{2}{9} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{9} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{2}{9} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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12、设 $i$ 为虚数单位，复数z满足 $z (i + 1) = 4 + 2 i$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $3 i$ D、3

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13、已知集合 $A = {x ∣ (x + 4) (x - 3) < 0}, B = \{x ∣ {log}_{3} x \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 4, 3]$ B、 $(0, 3)$ C、 $(- \infty, 3]$ D、 $(- 4, 3)$

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14、如图，在五棱锥 $S - A B C D E$ 中，平面 $S A E ⊥$ 平面 $A E D$ ， $A E ⊥ E D$ ， $S E ⊥ A D$ ．四边形 $A B C D$ 为矩形，且 $S E = A B = 1$ ， $A D = 3$ ， $\vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ．

(1)、证明： $S E ⊥$ 平面 $A E D$ ；

(2)、若 $A E = \sqrt{3}$ ，求二面角 $E - S A - D$ 的余弦值；

(3)、求直线 $D N$ 与平面 $S A D$ 所成角的正弦值的最小值．

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15、设 $A, B$ 是一个随机试验的两个事件，则（）

A、若 $A, B$ 对立，则 $A, B$ 一定互斥 B、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A B) = P (B)$ C、若 $P (A B) = P (A) P (B)$ ，则 $A, B$ 相互独立 D、若 $P (A) + P (B) = 1$ ，则 $A, B$ 一定对立

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16、已知某平面图形 $O A B C$ 的直观图是如图所示的梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且 $A^{'} B^{'} = 2, O^{'} C^{'} = 3, O^{'} A^{'} = 2$ ，则原图形OABC的面积为（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、12 D、10

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17、二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若 $X \sim B (n, p)$ ，则 $P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k}$ .多项分布是二项分布的推广，同样是重复 $n$ 次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有 $m$ 种，记这 $m$ 种结果为事件 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ ，它们的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{m}$ ，则 $p_{i} \geq 0, p_{1} + p_{2} + \dots + p_{m} = 1$ .现考虑某厂生产的产品分成一等品 $A_{1}$ ､二等品 $A_{2}$ ､三等品 $A_{3}$ 和不合格品 $A_{4}$ ，它们出现的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ ，从该厂产品中抽出 $n$ 个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的.

(1)、若从该厂产品中抽出4个，且 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 和 $p_{4}$ 分别为 $0.15, 0.70, 0.10$ 和0.05，求抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个的概率；

(2)、现从该厂中抽出 $n$ 个产品，记事件 $A_{i}$ 出现的次数为随机变量 $X_{i}, i = 1, 2, 3, 4$ .为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件 $B = \{X_{1} = k_{1}, X_{2} = k_{2}, X_{3} = k_{3}, X_{4} = k_{4}\}$ 的概率，其中 $k_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ 为非负整数， $k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{3} = n$ .
（i）求 $P (B)$ ；
（ii）对于上述多项分布，求在给定 $X_{2} = k_{2}$ 的条件下，随机变量 $X_{1}$ 的数学期望.

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18、已知函数 $f (x) = a x e^{x - 1} - x - ln x$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $f (x)$ 在点 $M (1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 3]$ 上的最大值 $g (a)$ 的表达式；

(3)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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19、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $\frac{sin (2 A + B)}{sin A} - 2 cos (A + B) = \frac{a + c}{b}$ .

(1)、证明： $b^{2} - a^{2} = a c$ ；

(2)、求 $cos A + \frac{a}{b}$ 的最小值.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $△ P A D$ 为等边三角形， $A B = 2, E ､ F$ 分别为 $A D ､ B C$ 的中点， $E G ⊥ P F$ ，垂足为 $G$ .

(1)、证明： $E G ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $cos ∠ P A B = - \frac{3}{4}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 形成的锐二面角的余弦值.

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