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相关试卷

1、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 底面边长为2的正方形，侧面都是等边三角形，动点 $P$ 在表面上运动，并且总保持 $P B ⊥ S C$ ，则动点 $P$ 从 $B$ 点出发到再回到 $B$ 点，其路程为.

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2、将函数 $y = 2 cos 2 x$ 图象上的每一点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{4}$ ，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度，得到 $f (x)$ 的图象，则 $f (x) =$ .

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3、下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）

A、 $sin(x + \frac{π}{3} ）$ B、 $sin(\frac{π}{3} - 2 x)$ C、 $cos(2 x + \frac{π}{6} ）$ D、 $cos(\frac{5 π}{6} - 2 x)$

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4、如图，设Ox，Oy是平面内相交成 $θ$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系xOy中的坐标，则该坐标系中 $M (x_{1}, y_{1})$ 和 $N (x_{2}, y_{2})$ 两点间的距离为（）

A、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} - 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) \sin θ}$ B、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) \sin θ}$ C、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} - 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) \cos θ}$ D、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) \cos θ}$

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5、已知母线长为a的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{64}$ B、 $\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{32}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{16}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{8}$

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6、已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球 $O$ 的球面上，若球 $O$ 的表面积为 $8 π$ ，则此正四棱台的侧棱长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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7、如图，点P为射线 $y = \sqrt{3} x$ 与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标 $f (t)$ 关于运动时间t的函数的解析式是（）

A、 $f (t) = \sin (2 t + \frac{π}{3})$ B、 $f (t) = \sin (π t - \frac{π}{3})$ C、 $f (t) = \cos (π t + \frac{π}{3})$ D、 $f (t) = \cos (2 t - \frac{π}{3})$

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8、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，则（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、若 $\vec{a}$ 是非零向量， $\vec{b} \neq \vec{c}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ 是 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - \vec{c})$ 的充要条件 C、若 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 3)$ ， $\vec{c} = (- 3, 4)$ ，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{c}\}$ 可以作为基底 D、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $|\vec{c}| = 3$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 2$

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9、要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，应从 $[120, 130)$ 间抽取人数为b，则b为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是空间中不同的直线， $α$ ， $β$ 是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a ⊥ b$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a ∥ c$ B、若 $a$ 与 $b$ 异面，则至多有一条 $c$ 与 $a$ ， $b$ 都垂直 C、若 $α // β$ ， $b ⊥ β$ ， $c ⊥ b$ ，则 $c$ 一定平行于 $α$ 和 $β$ D、若 $c \subset α$ ， $b \subset β$ ， $α ⊥ β$ ，则存在 $a$ 同时垂直 $c$ ， $b$

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11、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + a \ln x$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，试求函数图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），且不等式 $(m^{2} - 1) x_{2} > m f (x_{1})$ 恒成立，其中 $m \in Z$ ，试求整数 $m$ 的取值范围.

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12、PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量 $x$ （单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度 $y$ （单位： ${μg/m}^{3}$ ）．检测人员采集了50天的数据，制成 $2 \times 2$ 列联表（部分数据缺失）：

燃油车日流量 $x < 1500$
燃油车日流量 $x \geq 1500$
合计
PM2.5的平均浓度 $y < 100$
16

24
PM2.5的平均浓度 $y \geq 100$

20

合计
22

(1)、完成上面的 $2 \times 2$ 列联表，并根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于 $100 {μg/m}^{3}$ 与燃油车日流量小于1500辆有关联？

(2)、经计算得 $y$ 与 $x$ 之间的回归直线方程为 $\hat{y} = 0.12 x - 73.86$ ，且这50天的燃油车的日流量 $x$ 的标准差 $s_{x} = 249$ ， PM2.5的平均浓度 $y$ 的标准差 $s_{y} = 36$ ．若相关系数 $r$ 满足 $|r| \geq 0.75$ ，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值．
①判断该回归直线方程是否有价值；
②若这50天的燃油车的日流量 $x$ 满足 $\sum_{i = 1}^{50} x_{i}^{2} = 1.23 \times 10^{8}$ ，试求这50天的PM2.5的平均浓度 $y$ 的平均数 $\bar{y}$ （利用四舍五入法精确到0.1）．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
6.636
7.879
10.828
回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．
参考数据： $\frac{1}{50} \times 1.23 = 0.0246$ ， $249^{2} = 62001$ ， $\sqrt{2397999} \approx 1548.55$ ．

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13、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平 $B C D, A B = A D = 3, B C = C D = 4$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ B D$ ．

(2)、若 $B D = 4 \sqrt{2}, E$ 为 $C D$ 的中点，求直线 $A E$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

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14、已知 $f (x) = 2 x - \frac{2}{x} + \ln x$ ，若实数m，n满足 $f (m) + f (\frac{1}{n^{2}}) = 0$ ，则 $4 m + \frac{1}{n^{2}}$ 的最小值为

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15、若 $3 \sin (π - α) + 4 \cos α = 0$ ，则 $\sin 2 α =$ ．

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16、以下说法正确的是（）

A、把8个相同的小球放到编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有84种 B、 $C_{4}^{3} {+C}_{5}^{3} + \cdot \cdot \cdot {+C}_{9}^{3} =210$ C、 ${(2 x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的二项展开式中系数最大的项为 $240 x^{2}$ D、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数，当 $x > 0$ 时，若 $x f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，则 $e f (ln 2) > ln 2 f (e)$

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17、已知函数 $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{3})$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{2π}{3}$ B、点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 为 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、若 $f (x) = a (a \in R)$ 在 $x \in [- \frac{π}{18}, \frac{π}{9}]$ 上有两个实数根，则 $\frac{\sqrt{3}}{2} \leq a < 1$ D、若 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则函数 $y = f (x) + f^{'} (x)$ 的最大值为 $\sqrt{10}$

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18、下列命题正确的是（）

A、数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6 B、已知随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，若 $D (2 X + 1) = 5$ ，则 $n = 5$ C、对于随机事件A，B，若 $P (A ∣ B) = P (A)$ ， $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则A与B相互独立 D、已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |{log}_{2} x|, 0 < x \leq 2 \\ x^{2} - 8 x + 13, x > 2 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有4个不同的实根 $x_{1}$ 、 $x_{2} 、 x_{3} 、 x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{(x_{3} + x_{4}) x_{3}}{x_{1} x_{2}} =$ （）

A、 $(16, 32 - 8 \sqrt{3})$ B、 $(16, 32)$ C、 $(32 + 8 \sqrt{3}, 48)$ D、 $(32, 48)$

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20、已知 $a = \frac{1}{2} + 2 ln 2$ ， $b = \frac{1}{3} + ln 9$ ， $c = \frac{1}{e} + 2$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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	燃油车日流量 $x < 1500$	燃油车日流量 $x \geq 1500$	合计
PM2.5的平均浓度 $y < 100$	16		24
PM2.5的平均浓度 $y \geq 100$		20
合计	22

$α$	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	6.636	7.879	10.828