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相关试卷

1、多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分. 若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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2、已知集合 $M = \{x |0 < \ln (x + 1) < 3\}$ ， $N = \{y |y = \sin x, x \in M\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $(- 1, 1]$ C、 $(0, 1]$ D、 $[0, 1]$

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3、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C_{1} = B_{1} C_{1} = 3$ ， $A_{1} B_{1} = 4 \sqrt{2}$ ， D为 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $B_{1} C / /$ 平面 $A C_{1} D$ .

(2)、若以 $A B_{1}$ 为直径的球的表面积为 $48 π$ ，求三棱锥 $B_{1} - A C_{1} D$ 的体积.

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4、若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义，且对于任意不同的 $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < λ |x_{1} - x_{2}|$ ，则称 $f (x)$ 为 $[a, b]$ 上的“ $λ$ 类函数”.

(1)、若 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + x$ ，判断 $f (x)$ 是否为 $[1, 2]$ 上的“2类函数”；

(2)、若 $f (x) = a (x - 1) e^{x} - \frac{x^{2}}{2} - x \ln x$ ，为 $[1, 2]$ 上的“2类函数”，求实数a的取值范围.

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5、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， O是坐标原点，过 $(4, 0)$ 的直线与E相交于A，B两点，满足 $O A ⊥ O B$ ．

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、若 $P (x_{0}, 2)$ 在抛物线E上，过 $Q (4, - 2)$ 的直线交抛物线E于M，N两点，直线 $P M$ ， $P N$ 的斜率都存在，分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值．

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6、2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚.某旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如下表格：
单位：人
市民
春节旅游意愿
愿意
不愿意
青年人
80
20
老年人
40
60

(1)、根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联.

(2)、从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人做某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为 $X$ ，试求 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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7、第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是.

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8、在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，点 $P$ 在椭圆上， $P F_{1}$ 的中点为 $Q$ ，若 $O Q ⊥ P F_{1}$ ， $P F_{1} = \sqrt{3} O P$ ，则椭圆离心率的值为．

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (2 x - 1)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 对称， $f (x + 1) = - f (x - 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、 $f (x)$ 的最小正周期为4 D、若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + \dots + f (20) = 0$

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10、已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直.且母线长为6.则圆锥PO的内切球表面积为（）

A、 $12 (10 - 3 \sqrt{6}) π$ B、 $24 (20 - 7 \sqrt{6}) π$ C、 $96 (5 - 2 \sqrt{6}) π$ D、 $60 (8 - 3 \sqrt{6}) π$

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11、球类运动对学生的身心发展非常重要 $.$ 现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选 $3$ 门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有（）

A、 $210$ 种 B、 $78$ 种 C、 $150$ 种 D、 $144$ 种

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12、已知 $a = 4 ln 3^{π}, b = 3 π, c = 4 {lnπ}^{3}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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13、我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是（）

A、145 B、165 C、185 D、195

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1}^{2} = a_{n} a_{n + 2}$ ，若 $a_{2} = 1$ ， $a_{8} = 9$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $\pm 3$ C、3 D、5

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15、如下图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，E为 $C D$ 的中点， $P A = P B = \sqrt{2}$ ， $∠ P A D = ∠ P B C$ ，

(1)、设平面 $P O E$ 与平面 $P A D$ 的交线为l，证明： $l // O E$

(2)、证明：平面 $P O E$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、当点A到平面 $P C D$ 的距离最大时，求侧面 $P A B$ 与底面 $A B C D$ 所成二面角的大小.

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16、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sin \frac{B + C}{2} = \sin (B + C)$ ，

(1)、若以 $a$ ， $b$ ， $c$ 为边长的三个正三角形的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 并满足 $S_{2} + S_{3} - S_{1} = 10 \sqrt{3}$ ， $\sin B \sin C = \frac{30}{49}$ ，求 $a$ .

(2)、设 $A D$ 是角 $A$ 的平分线，与 $B C$ 边交于 $D$ ，若 $B D = 5$ ， $C D = 3$ ，求 $b$ ， $c$ ；

(3)、若 $b = 8$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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17、如图甲所示的正方形 $A A^{'} {A^{'}}_{1} A_{1}$ 中， $A A_{1} = 12, A B = A_{1} B_{1} = 3, B C = B_{1} C_{1} = 4$ ，对角线 $A {A^{'}}_{1}$ 分别交 $B B_{1}, C C_{1}$ 于点 $P, Q$ ，将正方形 $A A^{'} {A^{'}}_{1} A_{1}$ 沿 $B B_{1}, C C_{1}$ 折叠使得 $A A_{1}$ 与 $A^{'} {A^{'}}_{1}$ 重合，构成如图乙所示的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ .点 $M$ 在棱 $A C$ 上，且 $A M = \frac{15}{7}$ .

(1)、证明： $B M$ $∥$ 平面 $A P Q$ ；

(2)、求三棱锥 $M - A P Q$ 的体积.

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18、在四边形 $A B C D$ 中， $A B / /$ $C D$ ， $A D = B D = C D = 1$ .

(1)、若 $A B = \frac{3}{2}$ ，求 $B C$ ；

(2)、若 $A B = 2 B C$ ，求 $\cos ∠ B D C$ .

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19、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{5}$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ．

(1)、若 $（ λ \vec{a} + \vec{b} ） // （ \vec{a} + 4 λ \vec{b} ）$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若设 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $θ$ 的大小．

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20、如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是．

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市民	春节旅游意愿
市民	愿意	不愿意
青年人	80	20
老年人	40	60

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828