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相关试卷

1、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 是 $C D$ 上靠近点 $C$ 的三等分点.

(1)、设 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，求 $λ + μ$ 的值；

(2)、若 $A B = 3$ ， $B C = 2$ ，求 $\vec{A F} \cdot \vec{E F}$ 的值.

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2、现定义“ $n$ 维形态复数 $z_{n}$ ”： $z_{n} = \cos n θ + i \sin n θ$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $n \in N^{*}$ ， $θ \neq 0$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{4}$ 时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；

(2)、若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求 $\sin (θ + \frac{π}{4})$ 的值；

(3)、若正整数 $m$ ， $n (m > 1, n > 2)$ ，满足 $z_{m} = z_{1}$ ， $z_{n} = z_{m}^{2}$ ，证明：存在有理数 $q$ ，使得 $m = q \cdot n + 1 - 2 q$ .

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3、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} a (c \sin C + b \sin B - a \sin A)$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $△ A B C$ 的周长为5，设 $D$ 为边BC中点，求AD.

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4、已知在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C, tan ∠ B A C = \frac{3}{4}$ ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为.

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5、下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）

A、这10年粮食年产量的极差为15 B、这10年粮食年产量的第65百分位数为33 C、这10年粮食年产量的中位数为29 D、前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差

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6、已知函数 $f (x) = \sin x - x + a x^{2}$ ， $a \in R$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = π$ 处的切线过原点，求a的值；

(2)、当 $x \leq 5$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围．

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7、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、解关于 $n$ 的不等式： $a_{1} C_{n}^{0} + a_{2} C_{n}^{1} + a_{3} C_{n}^{2} + \dots + a_{n + 1} C_{n}^{n} < 2023$ ；

(3)、若 $c_{1} = 1, b_{n} = \frac{1}{2 a_{n}} = c_{n + 1} - c_{n}, d_{n} = \frac{1}{c_{n}} - \frac{1}{c_{n + 1}}$ ，求证：数列 $\{b_{n} d_{n}\}$ 前 $n$ 项和小于 $\frac{1}{3}$ ．

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8、设点 $F$ 为抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，过点 $F$ 且斜率为 $\sqrt{5}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $O$ 为坐标原点）． $S_{△ A O B} = 2 \sqrt{6}$

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $E (0, 2)$ 作两条斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，它们分别与抛物线 $C$ 交于点 $P, Q$ 和 $R, S$ ．已知 $|E P| \cdot |E Q| = |E R| \cdot |E S|$ ，问：是否存在实数 $λ$ ，使得 $k_{1} + λ k_{2}$ 为定值？若存在，求 $λ$ 的值，若不存在，请说明理由．

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9、四边形ABCD是平行四边形， $∠ C B A = \frac{π}{4}$ ，四边形ABEF是梯形， $B E // A F$ ，且 $A B ⊥ A F$ ， $A B = B E = \frac{1}{2} A F = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ E F$ ；

(2)、求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．

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10、智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下. 用频率估计概率，解答下列问题：

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
智能体温计测温	36.6	36.6	36.5	36.5	36.5	36.4	36.2	36.3	36.5	36.3
水银体温计测温	36.6	36.5	36.7	36.5	36.4	36.4	36.2	36.4	36.5	36.4
序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
智能体温计测温	36.3	36.7	36.2	35.4	35.2	35.6	37.2	36.8	36.6	36.7
水银体温计测温	36.2	36.7	36.2	35.4	35.3	35.6	37	36.8	36.6	36.7

（1）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；

（2）医学上通常认为，人的体温不低于 ${37.3}^{0} C$ 且不高于 $38^{0} C$ 时处于“低热”状态. 该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是 ${37.3}^{0} C$ ，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由.

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11、若数集 $S$ 的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集 $S$ 的超子集．已知集合，记 $A_{n} = \{1, 2, 3 \dots, n\} (n \in N^{*}, n \geq 3)$ ，记 $A_{n}$ 的超子集的个数为 $a_{n}$ ，当 $A_{n}$ 的超子集个数为221个时， $n =$ ．

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12、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别是 $a, b, c$ ，且 $A = 2 B, b \neq c, D$ 为 $B C$ 边上的中点，且 $A D = \sqrt{2} c$ ，则 $cos A =$ ．

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13、已知函数 $f (x) = 2 a e^{2 x} - x^{2}$ 有三个零点，求 $a$ 的取值范围．

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14、如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为 $2 \sqrt{3}$ ，梯形 $A B C D$ 内接于下底面圆， $C D$ 是直径， $A B ∥ C D, A B = 6$ ，过点 $A, B, C, D$ 向上底面作垂线，垂足分别为 $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是线段 $C C_{1}, A A_{1}$ 上的动点，点 $Q$ 为上底面圆内（含边界）任意一点，则（）

A、若平面 $D M N$ 交线段 $B B_{1}$ 于点 $R$ ，则 $N R ∥ D M$ B、若平面 $D M N$ 过点 $B_{1}$ ，则直线 $M N$ 过定点 C、 $△ A B Q$ 的周长为定值 D、当点 $Q$ 在上底面圆周上运动时，记直线 $Q A, Q B$ 与下底面所成角分别为 $α, β$ ，则 $\frac{1}{\tan^{2} α} + \frac{1}{\tan^{2} β}$ 的取值范围是 $[\frac{3}{4}, \frac{9}{2}]$

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15、设 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点，直线 $l : x = t y + 1$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $|A B| \geq 4$ B、 $\overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{O B}$ 可能大于 $0$ C、若 $P (2, 2)$ ，则 $|P A| + |A F| \geq 3$ D、若在抛物线上存在唯一一点 $Q$ （异于 $A$ 、 $B$ ），使得 $Q A ⊥ Q B$ ，则 $t = \pm \sqrt{3}$

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16、已知实数 $x, y$ 满足 $e^{x} = y ln x + y ln y$ ，则满足条件的 $y$ 最小正整数为（）．

A、1 B、3 C、5 D、7

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，若 $a_{n + 1} = \frac{(n + 1) a_{n}}{n + 1 + a_{n}}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} \geq \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{a_{n + 2}} - \frac{1}{a_{n}} < \frac{2}{\sqrt{(n + 2) (n + 1)}}$ C、 $\frac{1}{a_{2 n}} - \frac{1}{a_{n}} \geq \frac{1}{2}$ D、 $a_{n} \cdot \ln (n + 1) > 1$

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18、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， O为坐标原点，过 $F_{1}$ 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且 $|D F_{2}| = 2 \sqrt{2} |O D|$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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19、已知四边形ABCD满足 $\overset{⃑}{A D} = \frac{1}{4} \overset{⃑}{B C}$ ，点M满足 $\overset{⃑}{D M} = \overset{⃑}{M C}$ ，若 $\overset{⃑}{B M} = x \overset{⃑}{A B} + y \overset{⃑}{A D}$ ，则x+y= （）

A、3 B、 $\frac{5}{2}$ C、2 D、 $- \frac{1}{2}$

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20、蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球. $2006$ 年 $5$ 月 $20$ 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，满足 $A B = C D = 5$ ， $B D = A C = 6$ ， $A D = B C = 7$ ，则该鞠的表面积为（）

A、 $55 π$ B、 $60 π$ C、 $63 π$ D、 $68 π$

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