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相关试卷

1、如何计算一个椭圆的面积？这个问题早已在约2000年前被伟大的数学、物理学先驱阿基米德思考过．他采用“逼近法”，得出结论：一个椭圆的面积除以圆周率等于其长半轴长与短半轴长的乘积．即 $S = π a b$ ．那如何计算它的周长呢？这个问题也在约400年前被我国清代数学家项名达思考过．一个椭圆的周长约等于其短半轴长为半径的圆周长加上四倍的该椭圆长半轴长与短半轴长的差．即 $C \approx 2 π b + 4 (a - b)$ ．若一个椭圆的面积为 $8 π$ ，那么其周长的取值范围为（）

A、 $[16 \sqrt{π - 2}, + \infty)$ B、 $(16 \sqrt{π - 2}, + \infty)$ C、 $(4 \sqrt{2} π, + \infty)$ D、 $[4 \sqrt{2} π, + \infty)$

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2、已知定义在 $(- ∞, 0) ∪ (0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，对于定义域内任意的x ， y ，都有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，且 $f (x)$ 在 $(0, + ∞)$ 上单调递减，则不等式 $f (x) < l o g_{2} \frac{| x | + 1}{2}$ 的解集为.

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3、已知函数 $f (x) = l o g_{2} (x + \sqrt{x^{2} + 1}) + e^{x} - e^{- x} + 2$ ，则不等式 $f (2 x + 5) + f (3 - x) \geq 4$ 的解集为．

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4、已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 的图像是连续的， $f (x + 6) + f (x) = f (3)$ ， $f (x)$ 在区间 $[- 6, 0]$ 上是增函数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的一个周期为6 B、 $f (x)$ 在区间 $[12, 18]$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = 12$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $[- 2022, 2022]$ 上共有100个零点

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5、命题 $p : 0 < a < 1$ ，命题 $q$ ：函数 $f (x) = l o g_{a} (6 - a x) (a > 0, a \neq 1)$ 在 $(- \infty, 3)$ 上单调，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、函数 $f (x) = x^{2} - 4 | x | + 3$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty, - 2)$ B、 $(- \infty, - 2)$ 和 $(0, 2)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(- 2, 0)$ 和 $(2, + \infty)$

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7、实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + 4 b^{2} = 2$ ，则（）

A、 $a b \leq \frac{1}{2}$ B、 $a + b$ 的最大值为 $2 \sqrt{3}$ C、 $a - b \in [- \frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2}]$ D、 $(a + 2 b) (a^{3} + 8 b^{3})$ 的最大值为 $\frac{9}{2}$

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8、记 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $s i n C =$ $(\frac{b}{4} - c o s C) t a n A$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{5}{2}$ ，且 $A$ 为锐角，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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9、已知 $x > 1$ ， $y > 0$ ，且 $x + \frac{2}{y} = 2$ ，则 $\frac{1}{x - 1} + y$ 的最小值是．

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10、已知 $a > b > 0$ ， $a + b = 1 .$ 则下列结论正确的有（）

A、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ B、 $2^{2 a} + 2^{2 b + 1}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2 a + b} + \frac{4}{a + 2 b}$ 的最小值为3 D、 $a + s i n b < 1$

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11、记 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c成等比数列，以边 $A C$ 为直径的圆的面积为 $4 π$ ，若 $△ A B C$ 的面积不小于 $4 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰非等边三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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12、已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + 3 | x - 1 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 4$ ；

(2)、记（1）中不等式的解集为 $M,$ $M$ 中的最大整数值为 $t$ ，若正实数 $a, b$ 满足 $a + b = t$ ，求 $\frac{2}{a + 1} + \frac{8}{b + 2}$ 的最小值．

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13、已知函数 $f (x) = | x + 2 | + 2 | x - 3 |$

(1)、若不等式 $f (x) \geq m$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，若 $a 、 b 、 c$ 为正实数，且三数之和为m的最大值，求证： $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{25}{3}$

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a + b + c = 2$ ，则 $\frac{4}{a + b} + \frac{1}{c}$ 的最小值为．

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15、若对任意 $x > 0$ ， $x^{3} + 5 x^{2} + 4 x \geq a x^{2}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16、已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 \sqrt{2}$ ，若 ${(a - b)}^{2} \geq 4 {(a b)}^{3}$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ．

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17、已知正数 $m, n$ 满足 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 2^{\frac{3}{2}}$ ，则（）

A、 $m n \geq \frac{1}{2}$ B、 $m^{2} + n^{2} \geq 2$ C、 $m + n ≥ \frac{3}{2}$ D、 $\exists m, n \in (0, + \infty), (\frac{m - n}{2 m n})^{2} ≥ m n$

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18、若函数 $y = l o g_{a} (x - 2) + 1 (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象所过定点恰好在椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1 (m > 0, n > 0)$ 上，则 $m + n$ 的最小值为（）

A、6 B、12 C、16 D、18

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19、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，抛物线上的点 $M (4, y_{0})$ 到 $F$ 的距离为6，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 在抛物线的准线上，过点 $F_{1}$ 向双曲线的渐近线作垂线，垂足为 $H$ ，则 $H$ 与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（）．

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、3

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20、设 $a = l g \frac{2}{3}$ ， $b = \sqrt{l g 3 \cdot l g 2}$ ， $c = \frac{1}{2} l g 6$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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