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相关试卷

1、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，三角形的面积 $S$ 可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 $a + b = 12, c = 8$ ，则此三角形面积的最大值为．

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2、在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为 $2 \sqrt{2}$ ，则该矩形周长的最大值为.

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3、加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 相切，则下列说法正确的是（）

A、椭圆C的离心率为 $e = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、椭圆C的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 6$ C、椭圆C的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 9$ D、长方形R的面积最大值为18

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4、“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 $α$ 满足 $c o s α = \frac{1}{3}$ ，则这块四边形木板周长的最大值为（）

A、 $\frac{10 (\sqrt{30} + \sqrt{15})}{3} c m$ B、 $\frac{10 (\sqrt{30} - \sqrt{15})}{3} c m$ C、 $\frac{10 (\sqrt{10} + \sqrt{5})}{3} c m$ D、 $\frac{10 (\sqrt{10} - \sqrt{5})}{3} c m$

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5、疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理.某消毒装备的设计如图所示， $P Q$ 为街道路面， $A B$ 为消毒设备的高， $B C$ 为喷杆， $A B ⊥ P Q$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $C$ 处是喷洒消毒水的喷头，其喷洒范围为路面 $A Q$ ，喷射角 $∠ D C E = \frac{π}{3}$ .若 $A B = 3$ ， $B C = 6$ ，则消毒水喷洒在路面上的宽度 $D E$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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6、设 $x, y \in R$ ， $a > 1$ ， $b > 1$ ，若 $a^{x} = b^{y} = 3$ ， $3 a + b = 18$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最大值为．

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7、“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且 $O P = \sqrt{2}$ ，弦AC ， BD均过点P ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 为定值 B、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C}$ 的取值范围是 $[- 2, 0]$ C、当 $A C ⊥ B D$ 时， $\vec{A B} \cdot \vec{C D}$ 为定值 D、 $A C ⊥ B D$ 时， $| \vec{A C} | \cdot | \vec{B D} |$ 的最大值为12

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8、已知实数 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则 $\frac{4 x}{x + y} + \frac{y}{x}$ 的最小值是.

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9、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $x + 3 y + 4 x y = 6$ ，则 $x + 3 y$ 的最小值为.

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10、下列命题中正确的是（）

A、 $\frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值是2 B、当 $x > 1$ 时， $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是3 C、当 $0 < x < 10$ 时， $\sqrt{x (10 - x)}$ 的最大值是5 D、若正数 $x, y$ 满足 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 3$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为3

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11、已知 $a > 0, b > 0, a + 4 b = 2$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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12、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x y + 2 x + y = 6$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）．

A、4 B、6 C、8 D、12

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13、 $△ A B C$ 中， $B C = 1 ， ∠ A = 6 0^{∘}$ ， $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B}, \vec{C E} = \frac{1}{2} \vec{C D}$ ，记 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A E} =$ ；若 $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最大值为．

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14、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，则 $| M F_{1} | \cdot | M F_{2} |$ 的最大值为（）

A、13 B、12 C、9 D、6

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15、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x y) = y^{3} f (x) + x^{3} f (y)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = - 1$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、存在函数 $f (x)$ 以及 $x_{0}$ ，使得 $f^{'} (x_{0})$ 的值为 $4 e^{2}$

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16、如图，在扇形 $O A B$ 中，半径 $O A = 4$ ， $∠ A O B = 90 °$ ， $C$ 在半径 $O B$ 上， $D$ 在半径 $O A$ 上， $E$ 是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形 $B C D E$ 的周长的取值范围是．

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17、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $O$ 是 $A B$ 的中点，点 $P$ 沿着边 $B C$ 、 $C D$ 与 $D A$ 运动，记 $∠ B O P = x$ ，将 $△ P A B$ 的面积表示为关于 $x$ 的函数 $f (x)$ ，则 $f (x) =$ （）

A、当 $x \in (0, \frac{π}{4}]$ 时， $f (x) = 2 t a n x$ B、当 $x \in (0, \frac{3 π}{4}]$ 时， $f (x) = - t a n x$ C、当 $x \in [\frac{3 π}{4}, π)$ 时， $f (x) = - t a n x$ D、当 $x \in [\frac{3 π}{4}, π)$ 时， $f (x) = t a n x$

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18、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下图所示：
横轴为投资时间（单位：天），纵轴为回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是；
①投资3天以内（含3天），采用方案一；
②投资4天，不采用方案三；
③投资6天，采用方案二；
④投资10天，采用方案二.

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19、如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位： $m^{2}$ ）与时间t（单位：月）满足关系式： $y = a^{t} l n a$ （a为常数），记 $y = f (t)$ （ $t \geq 0$ ）．给出下列四个结论：
①设 $a_{n} = f (n) (n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；
②存在唯一的实数 $t_{0} \in (1, 2)$ ，使得 $f (2) - f (1) = f^{'} (t_{0})$ 成立，其中 $f^{'} (t)$ 是 $f (t)$ 的导函数；
③常数 $a \in (1, 2)$ ；
④记浮萍蔓延到 $2 m^{2}$ ， $3 m^{2}$ ， $6 m^{2}$ 所经过的时间分别为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ ，则 $t_{1} + t_{2} > t_{3}$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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20、农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第号区域的总产量最大．

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