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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (2, 0)$ ，且过点 $(2, \sqrt{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = x + m$ 与椭圆 $C$ 交于A，B两点，若AB中点为 $M$ ，求 $k_{O M}$

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2、在四边长均为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形ABCD中， $∠ A = 60^{°}$ 沿对角线BD折成二面角 $A - B D - C$ 为 $90^{°}$ 的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为.

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3、若动直线 $m x + n y - m - n = 0$ 始终与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 有公共点，则 $a$ 的取值范围是.

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4、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 $c \cos A + a \cos C = 6, A C$ 边上的高为4，则 $△ A B C$ 的面积为.

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5、定义两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 之间的一种新运算： $\vec{a} * \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin θ$ ，其中 $θ$ 是向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角，则对于非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、若 $\vec{a} * \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 ${(\vec{a} * \vec{b})}^{2} + {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = | \vec{a} |^{2} \cdot | \vec{b} |^{2}$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) * (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} * \vec{a} + 2 \vec{a} * \vec{b} + \vec{b} * \vec{b}$ D、若 $λ \in R$ ，则 $λ (\vec{a} * \vec{b}) = (λ \vec{a}) * \vec{b}$

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6、已知直线 $l : k x - y + k = 0$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为圆 $C$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ 的最大值为5 B、 $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $x_{0} + y_{0}$ 的最大值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离最大为4

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7、已知随机事件A、B，若 $P (\bar{A} B) = P (A \bar{B}) = 0.25$ ，且 $P (A \cup B) = 0.5$ ，则正确的是（）

A、 $P (A) = P (B)$ B、A、B为互斥事件 C、A、B相互独立 D、 $P (B) = 0.25$

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8、已知直线 $l : x - a y - 1 = 0$ 与 $⊙ C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ 交于 $A, B$ 两点，设弦 $A B$ 的中点为 $M, O$ 为坐标原点，则 $|O M|$ 的取值范围为（）

A、 $[3 - \sqrt{5}, 3 + \sqrt{5}]$ B、 $[\sqrt{3} - 1, \sqrt{3} + 1]$ C、 $[2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}]$ D、 $[\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 1]$

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9、 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A, 6 S = \sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形（非等边） B、直角三角形 C、正三角形 D、钝角三角形

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10、已知空间中的点 $A (1, 1, 1), B (5, 4, 13), C (2, 2, 2)$ ，则 $C$ 到直线AB的距离为（）

A、 $\frac{19}{13}$ B、 $\frac{\sqrt{146}}{13}$ C、 $\frac{12 \sqrt{3}}{13}$ D、2

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11、现有质地相同的6个球，编号为 $1 - 6$ ，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于7的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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12、与椭圆 $9 x^{2} + 4 y^{2} = 36$ 有相同焦点，且满足短半轴长为 $2 \sqrt{5}$ 的椭圆方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{45} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{80} + \frac{y^{2}}{85} = 1$

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13、已知m，n是两条不同直线， $α, β, γ$ 是三个不同平面，下列命题中正确的是（）

A、 $m / / n, n \subset α \Rightarrow m / / α$ B、 $m / / α, m / / β \Rightarrow α / / β$ C、 $m ⊥ α, n ⊥ α \Rightarrow m / / n$ D、 $α ⊥ γ, β ⊥ γ \Rightarrow α / / β$

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14、若直线 $a x + 2 y = 0$ 与直线 $x + (a + 1) y + (a^{2} - 1) = 0$ 平行，则 $a$ 的值是（）

A、1或 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、 $2$ 或 $- 1$

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15、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为 $3$ 的正方形，平面 $C D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F // D E$ ， $D E ⊥ C D$ ， $D E = 3 A F = 3 \sqrt{6}$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值；

(3)、线段 $C E$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $A P //$ 平面 $B E F$ ？若存在，指出点 $P$ 的位置并证明；若不存在，请说明理由.

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16、在 $△ A B C$ 中，若 $a = 7$ ， $b = 8$ ， $\cos B = \frac{1}{7}$ ，则 $∠ A$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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17、在底面是菱形的四棱锥 $S - A B C D$ 中，已知 $A B = A S = \sqrt{5}$ ， $B S = 4$ ，过 $D$ 作侧面 $S A B$ 的垂线，垂足 $O$ 恰为棱 $B S$ 的中点.

(1)、求平面 $S B C$ 与平面 $O S D$ 夹角的余弦值

(2)、在棱 $A D$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $O E ⊥$ 平面 $S B C$ ，若存在求 $D E$ 的长；若不存在，说明理由.

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18、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A C ⊥ C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $P A = A B = B C = 2$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $C D ⊥ A E$ ；

(2)、求证： $P D ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(3)、求点 $C$ 到平面 $A B E$ 的距离.

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19、成都市海关对同时从 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取5件样品进行检测.
地区
$A$
$B$
$C$
数量
50
50
150

(1)、求这5件样品中来自 $A$ ， $B$ ， $C$ 各地区商品的数量；

(2)、若在这5件样品中随机抽取3件送往甲机构进行进一步检测，求这3件商品并非全选自同一地区的概率.

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20、（本题要求必须使用向量法）如图在边长是2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $A_{1} C$ 的中点.

(1)、求直线 $E F$ 与直线 $C D_{1}$ 所成角的大小.

(2)、求证： $E F ⊥$ 平面 $A_{1} C D$ .

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地区	$A$	$B$	$C$
数量	50	50	150