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相关试卷

1、已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + b = 2$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$ C、 $4 a^{2} + b^{2}$ 的最小值为4 D、 $\frac{4}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} + 4$

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2、下列计算正确的是（）

A、 $3^{- 1} + \sqrt{0.01} = \frac{1}{13}$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5} (a > 0)$ C、 $\sqrt[2024]{{(π - 4)}^{2024}} = 4 - π$ D、 $\sqrt{a} \sqrt[3]{a} \sqrt[6]{a} = a (a > 0)$

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3、已知 $f (x)$ 是二次函数，且对于任意的实数 $x$ 、 $y$ ，函数 $f (x)$ 满足函数方程 $f (x) + f (y) = f (x + y) + x y + 2$ ，如果 $f (1) = \frac{5}{2}$ .下列选项错误的是（）

A、 $f (0) = 2$ B、 $y = f (x) + x$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、 $y = f (x) - x$ 为偶函数 D、 $y = f (x + 1)$ 为偶函数

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4、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (1 - 2 a) x + a, x < 1 \\ x^{2} + a x + 1, x \geq 1 \end{array}$ ，满足：对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $(x_{1} - x_{2}) (f (x_{1}) - f (x_{2})) > 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $[- 2, \frac{1}{2})$ C、 $[- 2, \frac{1}{2}]$ D、 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$

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5、“ $a > 0 > b$ ”是“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知 $f (\sqrt{x} + 1) = x + 2$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $x^{2} - 2 x + 3$ B、 $x^{2} - 2 x + 3 (x \geq 1)$ C、 $x^{2} - 2 x - 3$ D、 $x^{2} - 2 x - 3 (x \geq 1)$

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7、已知命题 $p$ ： $\exists x \in R$ ， ${(x - 1)}^{2} \leq 0$ ，命题 $q$ ： $\forall x > 0$ ， $x^{2} > x$ ，则（）

A、 $p$ 和 $q$ 都是真命题 B、 $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题 C、 $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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8、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（）

A、 $y = \frac{1}{x + 1}$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = |x|$ D、 $y = \{\begin{array}{l} x^{2}, x \geq 0 \\ - x^{2}, x < 0 \end{array}$

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9、若函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{x - 1}$ ，则其定义域为（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $(- \infty, 4)$ C、 $(- \infty, 1) \cup (1, 4)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (1, 4]$

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10、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} < 9, x \in N\}$ ， $B = \{- 3, - 1, 1, 2, 5, 7\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{- 1, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 3, - 1, 0, 1, 2, 5, 7\}$

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11、已知函数 $f (x) = a x - \ln (1 - x) (a \in R) .$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求a的值；

(3)、若 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $|x_{2} - x_{1}| > e - 1$ ，求a的取值范围.

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12、已知椭圆 $E$ 的焦点在 $x$ 轴上，中心在坐标原点.以 $E$ 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为 $6 \sqrt{2}$ .

(1)、求栯圆 $E$ 的方程；

(2)、设过点 $M (2, 0)$ 的直线 $l$ （不与坐标轴垂直）与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A, C$ ，与直线 $x = 16$ 交于点 $P$ .点 $B$ 在 $y$ 轴上， $D$ 为坐标平面内的一点，四边形 $A B C D$ 是菱形.求证：直线 $P D$ 过定点.

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A D / / B C$ ， $P A = A D = C D = 2$ ， $B C = 3$ ． $E$ 为 $P D$ 的中点，点 $F$ 在 $P C$ 上，且 $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求二面角 $F - A E - P$ 的余弦值；

(3)、设点 $G$ 在 $P B$ 上，且 $\frac{P G}{P B} = \frac{3}{4}$ ．判断直线 $A G$ 是否在平面 $A E F$ 内，说明理由．

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14、某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
数量
40
30
10
20

(1)、根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；

(3)、生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为21元/件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
售价/（元/件）
24
22
18
16
从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由.

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15、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，若 $f (x) \geq a$ 对 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
条件①： $f (0) = - 1$ ；
条件②： $f (x)$ 的最大值为 $2$ ；
条件③： $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增．
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．

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16、设 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合 $M = \{k | a_{k} = b_{k}, k \in N^{*}\}$ ，给出下列4个结论：
①若 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 $\{a_{n}\}$ 为递增数列， $\{b_{n}\}$ 为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是.

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17、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，且 $\frac{3 a_{1}}{2}, \frac{a_{3}}{4}, a_{2}$ 成等差数列，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q =$ .

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18、已知平面向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为120°，且 $|\overset{⃑}{a}| = 2$ ， $|\overset{⃑}{b}| = 4$ ，则 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ 的值为， $|\overset{⃑}{a} - t \overset{⃑}{b}| (t \in R)$ 的最小值为．

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19、函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \lg (x + 3)$ 的定义域为．

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20、如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，点P是线段AD上的动点，直线 $P E$ 交BC于点Q．当 $\vec{P D} \cdot \vec{P B}$ 取得最小值时，下列结论中一定成立的是（）

A、 $O Q ⊥ B C$ B、 $O P ⊥ A D$ C、 $P Q / / A B$ D、 $O P / / A C$

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等级	一等品	二等品	三等品	四等品
售价/（元/件）	24	22	18	16