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相关试卷

1、已知有限数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 为单调递增数列．若存在等差数列 $B : b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m + 1}$ ，对于A中任意一项 $a_{i}$ ，都有 $b_{i} \leq a_{i} < b_{i + 1}$ ，则称数列A是长为m的 $Ω$ 数列．
（1）判断下列数列是否为 $Ω$ 数列（直接写出结果）：
①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．
（2）若 $a < b < c (a, b, c \in R)$ ，证明：数列a，b，c为 $Ω$ 数列；
（3）设M是集合 ${x \in N | 0 \leq x \leq 63}$ 的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的 $Ω$ 数列．

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} - (2 a + 1) x + a ln x, a \in R$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (2, f (2))$ 处的切线方程.

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，求 $f (x)$ 的极值.

(3)、若 $f (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最小值为 $- 2 a$ ，求 $a$ 的取值范围.

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3、《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：
项目
国际级运动健将
运动健将
一级运动员
二级运动员
三级运动员
男子跳远
8.00
7.80
7.30
6.50
5.60
女子跳远
6.65
6.35
5.85
5.20
4.50
在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；
乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；
丙：5.16，5.65，5.18，5.86．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，

(1)、估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；

(2)、设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望 $E (X)$ ；

(3)、在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表：
第1跳
第2跳
第3跳
第4跳
第5跳
第6跳
甲
6.50
6.48
6.47
6.51
6.46
6.49
丙
5.84
5.82
5.85
5.83
5.86
a
若丙第6次试跳的成绩为a，用 $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ 分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当 $s_{1}^{2} = s_{2}^{2}$ 时，写出a的值．（结论不要求证明）

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4、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B B_{1} = 2$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点， $∠ B_{1} B A = 60^{\circ}$ ， $B_{1} D ⊥ A B$ .
（1）证明： $A B ⊥ A C$ ；
（2）若侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是正方形，求平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $A D C_{1}$ 夹角的余弦值.

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5、在 $△ A B C$ 中， $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ．

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $\cos B = \frac{11}{14}$ ；
条件②： $a + b = 12$ ；
条件③： $c = 12$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中各项均为正数，且 $a_{n + 1}^{2} - a_{n + 1} = a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$ ，给出下列四个结论：
①对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} > 1$ ；
②数列 $\{a_{n}\}$ 可能为常数列；
③若 $0 < a_{1} < 2$ ，则当 $n \geq 2$ 时， $a_{1} < a_{n} < 2$ ；
④若 $a_{1} > 2$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列，
其中正确结论是.

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7、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心， $|P F|$ 为直径的圆被x轴截得的弦长为．

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8、已知向量 $\vec{b} = (4, 2)$ ，若向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线，请写出一个符合条件的向量 $\vec{a}$ 的坐标.

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, x ⩽ 0, \\ \frac{\ln x}{x}, x > 0, \end{array}$ ， $g (x) = f (x) - a x$ ，若 $g (x)$ 有4个零点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{2}{e})$ B、 $(0, \frac{1}{2 e})$ C、 $(\frac{2}{e}, 1)$ D、 $(\frac{1}{2 e}, 1)$

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10、“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为 $30m/s$ ，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的 $75 %$ ，若石片接触水面时的速度低于 $6m/s$ ，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（）（参考数据： $\ln 2 \approx 0.7, \ln 3 \approx 1.1, \ln 5 \approx 1.6$ ）

A、5 B、6 C、7 D、8

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11、函数 $f (x) = \frac{2^{x} \sin x}{4^{x} + 1}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点，P为C上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ， $|P F_{1} |= 5| P F_{2}|$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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13、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、该图象对应的函数解析式为 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5 π}{12}, 0)$ 对称 D、函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递减

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14、若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $2$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ C、 $x \pm y = 0$ D、 $\sqrt{5} x \pm y = 0$

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15、已知复数 $z$ 满足 $|z - i| = 1$ ，则 $|z|$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 1]$ B、 $[0, 1)$ C、 $[0, 2)$ D、 $[0, 2]$

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16、命题“ $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $e^{x} > \ln x$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $e^{x} > \ln x$ B、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $e^{x} < \ln x$ C、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $e^{x} \leq \ln x$ D、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $e^{x} \leq \ln x$

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17、已知集合 $A = \{x| - 1 \leq x \leq 1\}$ ， $B = {x | \frac{x}{x - 2} \leq 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x| 0 \leq x \leq 1\}$ B、 $\{x| - 1 \leq x \leq 2\}$ C、 $\{x| - 1 \leq x < 2\}$ D、 $\{x| 0 \leq x \leq 2\}$

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18、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 x - 1 + m \leq 0$ 在区间 $[0, 3]$ 内有解，则实数 $m$ 的取值范围.

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19、已知 $f (x) = 2 x^{2} + a x + b$ 过点 $(0, - 1)$ ，且满足 $f (- 1) = f (2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及简图；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[m, m + 2]$ 上的值域为 $[- \frac{3}{2}, 3]$ ，求 $m$ 的值；

(3)、若 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $y = f (x)$ 的不动点，函数 $g (x) = f (x) - a x + a$ 有两个不相等的不动点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}$ 、 $x_{2} > 0$ ，求 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的最小值.

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20、某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f(x)万元， $f (x) =$ $\{\begin{array}{l} 5 x^{2} + 50 x + 500, 0 < x < 40, 100 x \in N, \\ 301 x + \frac{2500}{x} - 3000, x \geq 40, 100 x \in N . \end{array}$ 假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.
（1）求利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；
（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.

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项目	国际级运动健将	运动健将	一级运动员	二级运动员	三级运动员
男子跳远	8.00	7.80	7.30	6.50	5.60
女子跳远	6.65	6.35	5.85	5.20	4.50

	第1跳	第2跳	第3跳	第4跳	第5跳	第6跳
甲	6.50	6.48	6.47	6.51	6.46	6.49
丙	5.84	5.82	5.85	5.83	5.86	a