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相关试卷

1、已知球 $O$ 的半径为 $1$ ，圆锥内接于球 $O$ ，则圆锥体积的最大值为（）

A、 $\frac{16 π}{81}$ B、 $\frac{32 π}{81}$ C、 $\frac{16 π}{27}$ D、 $\frac{32 π}{27}$

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2、过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作斜率为正的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，且 $|A F| = 2 |B F|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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3、将函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，且函数 $g (x)$ 是偶函数，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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4、在复平面内，复数 $z = \frac{2 - i}{1 - 3 i}$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5、若 $A = \{0, - 1, 1\}$ ，则A的子集个数为（）

A、3 B、6 C、7 D、8

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6、在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D ⊥ A C$ ，且 $A D = A C$ .

(1)、 $△ A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\tan B = 3 \tan A$ .
①当 $a = 4$ 时，求 $\frac{c}{\cos B}$ 的值；
②当 $b = 4$ 时，求 $a c$ 的最大值.

(2)、若 $A B = 2 B C = 4$ ，且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折成 $△ P A C$ ，使得平面 $P A C ⊥$ 平面 $A C D$ ，在四面体 $P A C D$ 中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{1}$ ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为 $P_{2}$ ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{3}$ ，试比较 $P_{1} 、 P_{2} 、 P_{3}$ 的大小.

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7、如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n（n=2，3，…，9）的不同路线条数记为 $r_{n}$ ，从1移动到9的事件中，经过数字n（n=2，3，…，8）的事件概率记为 $p_{n}$ ，则 $r_{5} =$ ； $p_{5} =$ .

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8、数据4，5，5，5，6，8，9，10的60%分位数为.

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9、 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，且 $a = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \sqrt{3} S$ ，下列选项正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、若 $b = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $b$ 取值范围是 $(2 \sqrt{3}, 4)$ D、若 $D$ 为 $B C$ 边上的中点，则 $A D$ 的最大值为 $4 (2 + \sqrt{3})$

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10、i为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（）

A、 $|(8 - 6 i) i| = 10$ B、 $\frac{6 - 8 i}{i} = - 8 - 6 i$ C、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ D、若复数 $z$ 满足 $|z - i| = 1$ ，则 $|z - 1|$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$

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11、在 $△ A B C$ 中，P为边AB上一点， $C P = 1$ ， $∠ A C P = 30^{\circ}$ ， $∠ B C P = 45^{\circ}$ ， $A P = λ B P$ ， $∠ C P B = θ$ .当 $△ A B C$ 面积最小时， $\tan θ =$ （）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$

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12、在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是对角线 $A C$ 上靠近点 $C$ 的三等分点，点 $F$ 在 $B E$ 上，若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + \frac{4}{9} \vec{A D}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{5}{8}$

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13、内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点 $C$ 与 $D$ 与塔底 $B$ 在同一水平面，并测得 $C D = 20 \sqrt{2}$ 米， $∠ B C D = 15^{\circ}, ∠ B D C = 120^{\circ}$ ，在点 $C$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，则塔高 $A B =$ （）

A、 $10 \sqrt{6}$ 米 B、 $10 \sqrt{3}$ 米 C、 $20 \sqrt{3}$ 米 D、60米

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14、现有 $A, B$ 两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球 $a$ 为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（）

A、M发生的概率为 $\frac{1}{3}$ B、M与N互斥 C、M与N相互独立 D、P发生的概率为 $\frac{1}{2}$

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15、在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 在边 $A C$ 上， $\vec{P C} = 2 \vec{A P}$ ， $|\vec{A B}| = 2$ ， $|\vec{B C}| = 3$ ， $∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、求 $\vec{B P}$ 的模；

(2)、求向量 $\vec{B A}$ 与 $\vec{B P}$ 夹角的余弦值；

(3)、若点 $M$ 在边 $A B$ 上，求 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的范围．

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16、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $B C / / A D$ ， $B C = \frac{1}{2} A D$ ，面 $P B C \cap$ 面 $P A D = l$ ， $E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求证： $l / / A D$ ；

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17、设复数 $z_{1} = m^{2} - m - 2 + (m - 2) i$ ， $z_{2} = n + (n - 2) i$ ， $z_{3} = m + n i$ $(m, n \in R)$ .

(1)、若 $z_{1}$ 是纯虚数， $z_{2}$ 为实数，求 $|z_{3}|$ ；

(2)、若 $m = 3$ ，设 $z_{1} + i = (a + b i) \cdot (\bar{z_{1}} - i)$ $(a, b \in R)$ ，求 $a + b$ 的值.

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18、已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = \sqrt{3}, A A_{1} = 2$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

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19、已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $\frac{2 - i}{i (1 + i)} =$

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20、如图，在直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，各棱长均为 $2, ∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、当点M在棱 $B B_{1}$ 上运动时，则直线 $M A_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的最大值为 $\frac{π}{3}$ C、当点M在棱 $B B_{1}$ 上运动时， $| M D | + |M A_{1}|$ 最小值为 $2 \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}$ D、三棱锥 $A_{1} - A B C$ 外接球的表面积为 $\frac{28}{3} π$

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