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相关试卷

1、已知三条直线 $l_{1} : x - 2 y + 4 a = 0$ ， $l_{2} : x - y - 6 a = 0$ ， $l_{3} : 2 x - y - 4 a = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、 $l_{1} ⊥ l_{3}$ B、三条直线的斜率之积为1 C、三条直线的倾斜角之和为 $135^{\circ}$ D、三条直线在 $y$ 轴上的截距之和为12a

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2、某中学组织运动会，入场式每个班都按排方阵进场，要求每排六个人，某班级第一排6名学生中有2名是班长，其余4名是普通学生.回答下列问题：

(1)、该班班主任要求两名班长必须站在队列的最左端和最右端，其余4个学生站在中间，问有多少种不同的排法？

(2)、入场式结束后从这6名学生中选出4名参加校运会志愿者活动，要求至多1名班长被选中，问有多少种不同的选法？

(3)、若已知选派参加校运会志愿者有两男两女，派两人去沙坑处维持秩序，抽签决定，问在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率.

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3、如图，四边形 $A B C D$ 与 $B D E F$ 均为菱形， $A B = 2, F A = F C$ ，且 $∠ D A B = ∠ D B F = 60 °$ .
（1）求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E F$ ；
（2）求二面角 $E - A F - B$ 的余弦值；
（3）若 $M$ 为线段 $D E$ 上的一点，满足直线 $A M$ 与平面 $A B F$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{30}}{15}$ ，求线段 $D M$ 的长.

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4、已知函数 $f (x) = k x - x \ln x$ ， $k \in R$ ．
（1）当 $k = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）当 $0 < x \leq 1$ 时， $f (x) \leq k$ 恒成立，求k的取值范围；
（3）设n $\in N^{*}$ ，求证： $\frac{\ln 1}{2} + \frac{\ln 2}{3} + \dots + \frac{\ln n}{n + 1} \leq \frac{n (n - 1)}{4}$ ．

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5、在 $Δ A B C$ 中， $\frac{a + b}{\sin (A + B)} = \frac{a - c}{\sin A - \sin B}$ ．
（1）求B；
（2）若 $b = 3$ ， $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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6、已知点 $P$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上的动点， $F_{1} 、 F_{2}$ 是其左、右焦点， $O$ 是坐标原点，若存在四个点 $P$ 满足 $\frac{|P F_{1}| + |P F_{2}|}{|O P|} = \sqrt{6}$ ，则此双曲线的离心率取值范围．

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7、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为4， $△ A_{1} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ．设D为 $A_{1} C$ 的中点， $A A_{1} = A B$ ，平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，则二面角 $A - B D - C$ 的正弦值为．

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8、已知曲线 $y = \frac{2}{3} x^{3} - l n x$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = k x + b$ ，则 $k =$ ．

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9、设圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y = k x + 1 (k \in R)$ ，则下列结论正确的为（）

A、 $C$ 的半径为 $2$ B、 $l$ 可能与 $C$ 相切 C、 $l$ 恒过定点 $(0, 1)$ D、当 $k = 1$ 时， $l$ 被 $C$ 截得的弦长为 $2$

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10、若 ${(x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中只有第 $7$ 项的二项式系数最大，则展开式中含 $x^{2}$ 项的系数是

A、 $- 462$ B、 $462$ C、 $792$ D、 $- 792$

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11、函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{\cos x}$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos x}$ C、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin x}$ D、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{\sin x}$

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12、已知圆台的上、下底面半径和高的比为 $1 : 4 : 4$ ，母线长为5，则圆台的侧面积为（）

A、π B、16π C、17π D、25π

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13、若集合 $M = {y | y = 2^{x}, x < - 1} ， P = {y | y = \log_{2} x, x \geq 1}$ ，则 $M \cap P =$ ( )

A、 ${y | 0 < y < \frac{1}{2}}$ B、 ${y | 0 < y < 1}$ C、 ${y | \frac{1}{2} < y < 1}$ D、 ${y | 0 \leq y < \frac{1}{2}}$

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14、已知i是虚数单位，且z= $\frac{2 + 4 i}{{(1 + i)}^{2}}$ ，则z的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、已知动点 $M$ 到定点 $F (2 \sqrt{2}, 0)$ 的距离与它到定直线 $l : x = 4 \sqrt{2}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l_{1}$ 的方程为 $x + y - 4 \sqrt{2} = 0$ ，直线 $l_{1}$ 上有一动点 $H$ ，求 $|M F| - |M H|$ 的最大值；

(3)、若 $A$ ， $B$ 为轨迹 $C$ 上不同的两点，线段 $A B$ 的中点为 $Q$ ，当 $△ A O B$ 面积取最大值时，是否存在两定点 $S$ ， $T$ ，使 $|Q S| + |Q T|$ 为定值?若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由.

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16、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，前n项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是首项为1的等比数列， $4 b_{2} - b_{3} = 4$ ， $b_{4} = a_{4} + 4 a_{1}$ ， $2 S_{15} = 15 b_{5}$ .
（1）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{a_{n} b_{2 n + 1}\}$ 的前n项和.

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17、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D // Q A$ ， $∠ P D A = \frac{π}{2}$ ，平面 $A D P Q ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D = P D = 2 Q A = 2$ ．
（1）求证： $Q B //$ 平面 $P D C$ ；
（2）求二面角 $C - P B - Q$ 的大小．

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18、已知双曲线的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，且该双曲线经过点 $P (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 方程；

(2)、设斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 均经过点 $Q (2, 1)$ ，且直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若 $k_{1} + k_{2} = 1$ ，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.

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19、已知A、B分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右顶点，M是双曲线上异于A、B的动点，若直线MA、MB的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，始终满足 $f (|k_{1}|) = f (|k_{2}|)$ ，其中 $f (x) = |\ln (\frac{x}{2})|$ ，则C的离心率为．

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，公差 $d (d \neq 0)$ ，且满足 $a_{3} a_{4} + 2 a_{4} a_{6} + a_{5} a_{12} = 2024 d$ ，则 $\frac{1}{a_{6}} - \frac{1}{a_{5}} =$ .

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