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相关试卷

1、复数 ${(2 - i)}^{2}$ 的实部为（）

A、3 B、-3 C、2 D、-2

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2、斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 各棱长为4， $∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ， D为棱 $B B_{1}$ 上的一点．

(1)、求证： $A B ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、若平面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 平面ABC，且二面角 $A - A_{1} D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求BD的长．

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3、已知函数 $f (x) = a x - e^{- x}, g (x) = x^{2} + x ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x) \geq f (x)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5, A C = 3$ ，点 $D, E$ 是 $B C$ 边上的两点，点 $D$ 在 $B, E$ 之间， $∠ B A D = ∠ C A E$ ．

(1)、求 $\frac{A D \cdot C E}{A E \cdot B D}$ 的值；

(2)、若 $B C = 7$ ， $A B ⊥ A E$ ，求 $\frac{A D}{D E}$ 的值．

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5、如图，一点从正方形的顶点 $A$ 处出发在各顶点间移动，每次移动要么以 $\frac{1}{3}$ 的概率沿平行于 $B C$ 方向（正、反方向均可）移动一步；要么以 $\frac{2}{3}$ 的概率沿平行于 $A B$ 方向（正、反方向均可）移动一步．设移动 $2 n$ （ $n \in N^{*}$ ）步后回到点 $A$ 的概率为 $A_{n}$ ，到达点 $C$ 的概率为 $C_{n}$ ， $A_{n} - C_{n}$ = ．

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6、已知曲线 $C : k x^{2} = (1 + y) {(1 - y)}^{3} (k > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称 B、曲线 $C$ 上的点到 $x$ 轴的距离的最大值为1 C、若 $k = 1$ ，且点 $(x_{0}, y_{0})$ 在 $C$ 上，则 $x_{0} + y_{0} ⩽ 1$ D、若曲线 $C$ 与圆 $M : x^{2} + y^{2} = 1$ 只有2个公共点，则 $k$ 的取值范围为 $(4, + \infty)$

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7、下列关于函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的说法正确的是（）

A、要得到函数 $f (x)$ 的图象，只需将函数 $y = 2 sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{5 π}{18}, \frac{π}{18})$ 上单调递减 D、若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = - 2$ ，则 ${|x_{1} - x_{2}|}_{min} = π$

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8、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，函数 $g (x) = (x - 2) f (x)$ 的图象关于点 $(2, 0)$ 中心对称，若 $g (- 1) = 3$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \log_{2} (x + 1) + m, x > 0 \\ 2^{x} + m, x \leq 0 \end{array}$ 有两个零点，则m的取值范围是（）

A、 $[- 1, 0)$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 1]$

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10、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = 2$ ，且向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 与向量 $\vec{a}$ 的夹角 $⟨\vec{a} - \vec{b}, \vec{a}⟩ = \frac{π}{6}$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b}$ 的值为（）

A、 $- 6$ B、0 C、 $2 \sqrt{3}$ D、6

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11、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{P C} = 2 \vec{B P}$ ， $O$ 是线段 $A P$ 的中点，过点 $O$ 的直线与线段 $A B, A C$ 分别交于点 $E, F$ ．

(1)、若 $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，请用向量 $\vec{A B}, \vec{A C}$ 来表示向量 $\vec{A O}, \vec{E O}$ ；

(2)、若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} (0 \leq λ \leq 1), \vec{A F} = μ \vec{A C} (0 \leq μ \leq 1)$ ，求 $2 λ + μ$ 的最小值．

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12、在 $△ A B C$ 中，内角A、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $b = \sqrt{3} R$ （ $R$ 是 $△ A B C$ 的外接圆半径）.

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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13、（1）已知 $α, β$ 都是锐角， $tan α = \frac{1}{7}$ ， $sin β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $tan (α + 2 β)$ 的值；
（2）已知 $cos α + cos β = \frac{1}{2}$ ， $sin α + sin β = \frac{1}{3}$ ，求 $cos (α - β)$ 的值．

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14、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, - 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $|\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角θ．

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15、设 $D$ 、 $E$ 分别是 $Δ A B C$ 的边 $A B$ ， $B C$ 上的点， $A D = \frac{1}{2} A B$ ， $B E = \frac{2}{3} B C$ . 若 $\overset{⃑}{D E} = λ_{1} \overset{⃑}{A B} + λ_{2} \overset{⃑}{A C}$ （ $λ_{1}, λ_{2}$ 为实数），则 $λ_{1} + λ_{2}$ 的值是

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16、函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则 $f (x) =$ .

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17、如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（）

A、ω＝ $\frac{2 π}{15}$ ， A＝3 B、ω＝ $\frac{15}{2 π}$ ， A＝3 C、ω＝ $\frac{2 π}{15}$ ， A＝5 D、ω＝ $\frac{15}{2 π}$ ， A＝5

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18、若 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $tan θ = 2 \sqrt{5} cos θ$ ，则 $cos 2 θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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19、 $△ A B C$ 的三边分别为1，2， $\sqrt{7}$ ，则这个三角形的最大内角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3}{4} π$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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20、已知 $A (1, 2)$ ， $B (4, 3)$ ， $C (x, 6)$ ，若 $\vec{A B} ∥ \vec{A C}$ ，则 $x =$ （）

A、10 B、11 C、12 D、13

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