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相关试卷

1、若函数 $f (x) = \{\begin{cases} \log_{a} x, x > 1 \\ (8 - a) x - 4, x \leq 1 \end{cases} (a > 0, a \neq 1)$ 是 $R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(1, 8)$ C、 $(4, 8)$ D、 $[4, 8)$

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2、设 $x \in R$ ，则“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} > 1$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3、若集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{x |{log}_{2} (2 - x) \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 2\}$

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4、意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布×伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案.1961年他的弟弟约翰×伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为 $f (x)$ ，双曲余弦函数为 $g (x)$ ，已知这两个最基本的双曲函数为 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} .$

(1)、对任意实数 $x$ ， ${[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2}$ 是否为定值，若是定值，请求出定值；

(2)、证明：两角和的双曲余弦公式 $g (x + y) = g (x) g (y) + f (x) f (y)$ ；

(3)、证明： $F (x) = f (x) + g (x) + ln [f (x) + g (x)] - 2$ 有唯一的正零点 $x_{0}$ ，并比较 $x_{0}$ 和 $ln \frac{3}{4 x_{0}}$ 的大小．

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5、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上的单调递增区间；

(2)、已知函数 $h (x) = a {sin}^{2} x - 2 sin x + \frac{3 a}{4} (a \in R)$ 的最小值为1；
①求 $a$ 的值；
②若 $\forall x_{1} \in R ， \exists x_{2} \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，使得 $h (x_{1}) = m f (x_{2}) + 2$ ，求实数m的取值范围.

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6、某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中小圆弧所在圆的半径为12米，设大圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为 $θ$ （ $θ > 0$ ）（弧度）．

(1)、求 $θ$ 关于x的函数解析式，并求出 $θ$ 的取值范围；

(2)、已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为32元/米，弧线部分的装饰费用为8元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y．
（ⅰ）求y关于x的函数解析式；
（ⅱ）求出y的最大值和y取最大值时的x的值．

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7、已知函数 $f (x) = sin (\frac{π}{4} + x) cos (\frac{π}{4} + x) + \sqrt{3} sin x cos x$ ．

(1)、把 $f (x)$ 化成 $y = A sin (ω x + φ)$ 的形式；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，且 $π < α < \frac{7 π}{6}$ ，求 $sin α$ 的值．

(3)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2}) = 1$ ，求 $sin B + sin C$ 的取值范围．

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8、若集合 $A = \{x ∣ - 3 \leq x \leq 3\}$ ，集合 $B = \{x ∣ m - 5 \leq x \leq 2 m + 1\}$ ．

(1)、若 $m = 0$ ，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、当 $A \cap B = A$ 时，求实数 $m$ 的取值范围．

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9、为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40分钟的远程网络学习中，注意力指数 $y$ 与时间 $t$ 之间的关系近似满足如图所示的曲线．当 $t \in （ 0 ， 14]$ 时，曲线是二次函数图象的一部分，当 $t \in [14 ， 40 ）$ 时，曲线是函数 $y = {log}_{a} (t - 5) + 83 (a > 0 且 a \neq 1)$ 图象的一部分，根据专家研究发现，当注意力指数不低于80时，学习效率最佳．据此可以判断，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有分钟．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414 ； \sqrt{3} \approx 1.732 ， lg 2 \approx 0.301 ， lg 3 \approx 0.477 ）$ （结果保留小数点后两位有效数字）

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10、若幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(2, \sqrt{2})$ ，则 $f (16) =$ ．

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11、定义 $f (α) = \frac{sin α}{|cos α| + |sin α|}$ ， $g (α) = \frac{cos α}{|cos α| + |sin α|}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\exists α \in R$ ，使得 ${[f (α)]}^{2} + {[g (α)]}^{2} > 1$ B、 $f (α + \frac{3 π}{2}) + g (α) = 0$ C、 $f (α) + g (α)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ D、当 $α \in [0,π]$ 时， $f (α) + 2 g (α)$ 的最大值为2

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12、已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，对任意x，y满足 $f (x - y) = f (x) g (y) - g (x) f (y)$ ，且 $f (- 2) = f (1) \neq 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、函数 $g (2 x + 1)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 C、 $g (1) + g (- 1) = 0$ D、若 $f (1) = 1$ ，则 $\sum_{n = 1}^{2023} f (n) = 1$

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13、已知定义在 $[1 - 3 m, 4 m - 2]$ 上的偶函数 $f (x)$ ，且当 $x \in [0, 3 m - 1]$ 时， $f (x)$ 单调递增，则关于 $x$ 的不等式 $f (x - 1) > f (2 x - 3 m)$ 的解集是（　　）

A、 $(\frac{4}{3}, 2)$ B、 $(\frac{7}{8}, \frac{5}{4})$ C、 $(\frac{2}{3}, \frac{5}{3}]$ D、 $(\frac{2}{3}, 2]$

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14、已知 $x > 0, y > - 1$ ，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{x^{2} + 3}{x} + \frac{y^{2}}{y + 1}$ 最小值为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $1 + \sqrt{3}$

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15、函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{1 + 2^{x}}) sin x$ 的图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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16、下面四组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一个函数的是（）．

A、 $f (x) = | x |$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = 2 x$ ， $g (x) = \frac{2 x^{2}}{x}$ C、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ D、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$

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17、不等式 $(x - 1) (x - 3) \leq 0$ 的解集是（）

A、 $\{x | x < 1$ 或 $x > 3\}$ B、 $\{x| x \leq 1$ 或 $x \geq 3\}$ C、 $\{x| 1 < x < 3\}$ D、 $\{x| 1 \leq x \leq 3\}$

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18、已知点 $P (1, 4)$ ，双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且双曲线的一条渐近线与直线 $A P$ 垂直.

(1)、求双曲线的离心率；

(2)、设点 $M$ 在双曲线上，且 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ，求点 $M$ 到 $x$ 轴的距离；

(3)、过 $F_{2}$ 且斜率为 $1$ 的直线与双曲线交于 $D$ 、 $E$ 两点，求线段 $D E$ 的长度.

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19、（1）已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $P (1, y_{0}) (y_{0} > 0)$ 到其焦点的距离为5，求抛物线的方程；
（2）求与双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 有公共渐近线，且经过点 $(- 3, 2 \sqrt{3})$ 的双曲线的标准方程.

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20、已知椭圆和双曲线有共同的焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $M$ 是它们的一个交点，且 $\cos ∠ F_{1} M F_{2} = \frac{1}{4}$ ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1} e_{2}}$ 的最大值为．

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