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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = |x - a| - \frac{3}{x} + a (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求关于 $x$ 的方程 $f (x) = 1$ 的解；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = \frac{2}{a}$ 有三个不同的正实数根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ .
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $x_{1} x_{2} x_{3} > 3$ .

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2、已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - a}{2^{x}}$ 为奇函数，

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用单调性定义加以证明；

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x^{2} + 2 x) + f (x - 4) < 0$ 的解集.

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3、某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量 $W$ （单位：千克）与使用肥料 $x$ （单位：千克）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{array}{l} 10 (x^{2} + 3), 0 \leq x \leq 2 \\ 100 - \frac{100}{x + 1}, 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，肥料成本投入为 $11 x$ 元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费） $25 x$ 元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当使用肥料为多少千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是多少？

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4、求值

(1)、 $\sqrt[4]{4} \times 32^{\frac{1}{2}} + \ln \sqrt{e} - 2024^{0}$

(2)、 $(\log_{2} 5 + \log_{4} 0.2) (\log_{5} 2 + \log_{25} 0.5)$

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5、已知 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + a b - 2 b^{2} = 1$ ，则 $3 a^{2} - 2 a b$ 的最小值为

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6、定义 $f (x) = ⌈x⌉$ （其中 $⌈x⌉$ 表示不小于 $x$ 的最小整数）为“向上取整函数”.例如 $⌈- 1.1⌉ = - 1$ ， $⌈2.1⌉ = 3$ ， $⌈4⌉ = 4$ .以下描述正确的是.（请填写序号）
①若 $f (x) = 2024$ ，则 $x \in (2023, 2024]$ ， ②若 ${⌈x⌉}^{2} - 7 ⌈x⌉ + 12 \leq 0$ ，则 $x \in (2, 4]$ ，
③ $f (x) = ⌈x⌉$ 是 $R$ 上的奇函数，④ $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增.

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7、函数 $f (x) = \log_{3} (3 x + 1)$ 的定义域为.

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8、已知函数 $f (x)$ 满足：对于 $x, y \in R$ ，都有 $f (x - y) = f (x) f (y) + f (1 + x) f (1 + y)$ ，且 $f (0) \neq f (2)$ ，则以下选项正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (1) = 0$ C、 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ D、 $f (x + 4) = f (x)$

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9、已知函数 $f (x) = \lg (\sqrt{x^{2} - 2 x + 2} - x + 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $R$ B、 $f (x + 1)$ 关于原点对称 C、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $x \in [1 - m, 1 + m]$ 上的最大值、最小值分别为 $M$ 、 $N$ ，则 $M + N = 0$

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10、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为实数，且 $a > b > 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - c}$ C、 $a c > b c$ D、 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$

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11、已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，若函数 $g (x)$ 满足 $g (x) = \{\begin{matrix} f (x), x \geq 0 \\ - f (x), x < 0 \end{matrix}$ ，且 $g (f (x)) - a = 0$ 有8个不同的解，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < - 1$ B、 $- 1 < a < 0$ C、 $0 < a < 1$ D、 $a > 1$

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12、设 $m \in R$ ， “ $m < - \frac{1}{2}$ ”是“方程 $m^{2} x^{2} - (m + 3) x + 4 = 0$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上有两个不等实根”的（）条件.

A、充分必要 B、充分不必要 C、必要不充分 D、既不充分也不必要

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13、函数 $f (x) = \frac{3 x}{e^{|x|}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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14、已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 2$ ，则 $\frac{3}{a} + \frac{12}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{27}{2}$ B、14 C、15 D、27

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15、已知 $a = 3^{0.2}$ ， $b = 3^{0.3}$ ， $c = 2^{0.2}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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16、命题“ $\forall n \in N$ ， $n^{2} + n + 2 \in Z$ ”的否定为（）

A、 $\forall n \in N$ ， $n^{2} + n + 2 \notin Z$ B、 $\forall n \notin N$ ， $n^{2} + n + 2 \notin Z$ C、 $\exists n \in N$ ， $n^{2} + n + 2 \in Z$ D、 $\exists n \in N$ ， $n^{2} + n + 2 \notin Z$

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17、已知集合 $M = \{1, 2, 4, 7\}$ ， $N = \{4, 6, 7\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{1, 2, 4, 6, 7\}$ B、 $\{1, 2, 6\}$ C、 $\{4, 7\}$ D、 $\{2, 4\}$

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18、已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ ，且 $f (\frac{1}{3}) = \frac{3}{10}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性，并证明你的结论；

(3)、设 $g (x) = (x^{2} + 1) [f (x) + 1] + m (x + 1) - 2$ ，若 $\exists x_{1} \in [1, 2]$ ，对 $\forall x_{2} \in [- 1, 1]$ ，有 $g (x_{1}) \leq 2 f (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、（1）已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = 1$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{a + b}$ 的最小值；
（2）设 $a > 0$ ， $b > 1$ ，若 $a + b = 2$ ，求 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b - 1}$ 的最小值；
（3）求函数 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x + 2}$ 的最大值.

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20、某工厂生产某种玩具车的固定成本为15000元，每生产一辆车需增加投入80元.已知总收入 $R$ （单位：元）关于月产量 $x$ （单位：辆）满足函数： $R (x) = \{\begin{array}{l} 380 x - \frac{1}{2} x^{2} (0 \leq x \leq 500), \\ 75000 (x > 500) . \end{array}$

(1)、将利润 $P$ （单位：元）表示为月产量 $x$ （单位：辆）的函数；

(2)、当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）

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