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相关试卷

1、已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 16 = 0$ 关于直线 $l$ 对称，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $2 x + y - 3 = 0$ B、 $x - 2 y - 8 = 0$ C、 $2 x - y - 5 = 0$ D、 $x + 2 y = 0$

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2、若点 $P (- 2 \sqrt{2}, y)$ 是角 $α$ 终边上一点，且 $c o s (α + \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $y$ 的值为（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、-2 D、2

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3、已知空间向量 $\vec{a} = (- 2, - 1, 1)$ ， $\vec{b} = (3, 4, 5)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ∥ \vec{a}$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $2 \vec{a} ⊥ (5 \vec{a} + 6 \vec{b})$ D、 $4 | \vec{a} | = \sqrt{3} | \vec{b} |$

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4、在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{7} + a_{9} = 16$ ， $a_{4} = 2$ ，则 $a_{12}$ 的值是（）

A、13 B、14 C、16 D、17

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5、若集合 $A = {x | - 1 < x < 1}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 6 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ B、 ${0}$ C、 ${x | - 3 < x < 2}$ D、 ${x | - 1 < x < 1}$

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6、 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a + b + c = 6$ ， $b^{2} = a c$ ．

(1)、求角 $B$ 的最大值，以及边长 $b$ 的最大值；

(2)、设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，求 $S + \frac{1}{\vec{B A} \cdot \vec{B C}}$ 的取值范围．

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7、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ，垂足 $O$ 落在线段 $A D$ 上．

(1)、证明： $A P ⊥ B C$ ；

(2)、已知 $B C = 8$ ， $A O = 3$ ， $O D = 2$ ，且直线 $P B$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ ．
$①$ 求此三棱锥 $P - A B C$ 的体积；
$②$ 求二面角 $B - A P - C$ 的大小．

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8、游客从某旅游景区的景点 $A$ 处下山至 $C$ 处有两种路径 $.$ 一种是从 $A$ 沿直线步行到 $C$ ；另一种是先从 $A$ 沿索道乘缆车到 $B$ ，然后从 $B$ 沿直线步行到 $C .$ 现有甲、乙两位游客从 $A$ 处下山，甲沿 $A C$ 匀速步行，速度为 $50 m / m i n .$ 在甲出发 $2 m i n$ 后，乙从 $A$ 乘缆车到 $B$ ，在 $B$ 处停留 $1 m i n$ 后，再从 $B$ 匀速步行到 $C .$ 假设缆车匀速直线运动的速度为 $130 m / m i n$ ，山路 $A C$ 长为 $1260 m$ ，经测量， $c o s A = \frac{12}{13}, c o s C = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求索道 $A B$ 的长；

(2)、问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)、为使两位游客在 $C$ 处互相等待的时间不超过 $3$ 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

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9、如图，在几何体中，四边形 $A B C D$ 为菱形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $O$ ，四边形 $D C E F$ 为梯形， $E F / / C D$ ， $F B = F D$ ．

(1)、若 $C D = 2 E F$ ，求证： $O E / /$ 平面 $A D F$ ；

(2)、求证：平面 $A C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

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10、在复平面内，点 $A$ ， $B$ 对应的复数分别是 $2 + 3 i$ ， $1 + 2 i ($ 其中 $i$ 是虚数单位 $)$ ，设向量 $\vec{B A}$ 对应的复数为 $z$ ．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、求 $| z^{2} + z \cdot \bar{z} |$ ；

(3)、若 $z_{1} = m + i$ ，且 $\frac{z_{1}}{z}$ 是纯虚数，求实数 $m$ 的值．

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11、在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 是该正方体表面上一个动点，且 $B M / /$ 平面 $A D_{1} C$ ，则动点 $M$ 的轨迹的长度是．

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12、如图所示，直观图四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是一个底角为 $45 °$ ，腰和上底均为 $1$ 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是．

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13、设 $x$ ， $y \in R$ ，若 $x + (y - 1) i = 3 + x i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $x + y =$ ．

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14、下面有关三角形的命题正确的是( )

A、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ，则 $∠ B = \frac{π}{3}$ B、在 $△ A B C$ 中， $A = 30 °$ ， $b = 2$ ， $a = \sqrt{2} .$ 则这样的三角形有且只有一个 C、在 $△ A B C$ 中，若 $s i n A$ ： $s i n B$ ： $s i n C = 4$ ： $5$ ： $6$ ，则最大内角是最小内角的 $2$ 倍 D、在 $△ A B C$ 中， $a = 2$ ， $c = 4$ ， $c o s C = - \frac{1}{4}$ ，则 $A B$ 边上的高为 $\frac{3 \sqrt{15}}{8}$

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15、平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的向量，则下列正确的是( )

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ B、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | < | \vec{a} | + | \vec{b} |$ D、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | < | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$

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16、 $△ A B C$ 中，已知 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $△ A B C$ 是( )

A、三边互不相等的三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、顶角为钝角的等腰三角形

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17、已知三棱锥 $P - A B C$ 的三条侧棱 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 两两互相垂直，且 $P A = P C = \sqrt{3}$ ， $P B = \sqrt{2}$ ，则此三棱锥外接球的体积为( )

A、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{64 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $8 π$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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18、侧面积为 $2 π$ 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为( )

A、 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $2$ D、 $1$

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19、向量 $\vec{a} = (6,2)$ 在向量 $\vec{b} = (2, - 1)$ 上的投影向量为( )

A、 $(2, - 1)$ B、 $(1, - \frac{1}{2})$ C、 $(4, - 2)$ D、 $(3,1)$

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20、对于两条不同的直线 $m$ ， $n$ 和两个不同的平面 $α$ ， $β$ ，以下结论正确的是( )

A、若 $m \subset α$ ， $n / / β$ ， $m$ ， $n$ 是异面直线，则 $α$ ， $β$ 相交 B、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $n / / α$ ，则 $n / / β$ C、若 $m \subset α$ ， $n / / α$ ， $m$ ， $n$ 共面于 $β$ ，则 $m / / n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α$ ， $β$ 不平行，则 $m$ ， $n$ 为异面直线

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