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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1, - 2)$ ， $B (2,3)$ ， $C (- 2, - 1)$ ．

(1)、设实数 $t$ 满足 $(\vec{A B} - t \vec{O C}) ⊥ \vec{O C}$ ，求 $t$ 的值；

(2)、若以线段 $A B$ ， $A C$ 为邻边作平行四边形 $A B D C$ ，求向量 $\vec{A D}$ 与 $\vec{C B}$ 所夹角的余弦值．

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2、已知复数 $z = l n (m^{2} - 2 m - 2) + (m^{2} + 2 m) i (m \in R)$ ．

(1)、若复数 $z$ 为实数，求 $m$ ；

(2)、若复数对应点在第二象限，求 $m$ 的取值范围．

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3、 $10$ 世纪阿拉伯天文学家阿尔库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗小天体来测定小天体的高度．如图，有两个观察者在地球上 $A$ ， $B$ 两地同时观测到一颗卫星 $S$ ，仰角分别为 $∠ S A M$ 和 $∠ S B M (M A, M B$ 表示当地的水平线，即为地球表面的切线 $)$ ，设地球半径为 $R$ ，弧 $A B$ 的长度为 $\frac{π}{3} R$ ， $∠ S A M = 30 °$ ， $∠ S B M = 45 °$ ，则卫星 $S$ 到地面的高度为．

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4、在 $△ A B C$ 中， $(a + b + c) (a - b + c) = a c$ ，则 $B =$ ．

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5、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，下列说法正确的是( )

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{2} = \bar{z_{1}}$ B、若 $| z_{1} - z_{2} | = | z_{1} + z_{2} |$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ C、若 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ D、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 不相等且 $| z - z_{1} = | z - z_{2} |$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点在一条直线上

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6、已知 $\vec{a} = (t, 1), \vec{b} = (2, t)$ ，则下列说法正确的是( )

A、 $| \vec{a} |$ 的最小值为 $1$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t = 0$ C、若 $t = 1$ ，与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量只能为 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $t$ 的取值范围为 $(- \infty, 0)$

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7、费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点 $.$ 当三角形三个内角都小于 $\frac{2}{3} π$ 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 $\frac{2}{3} π .$ 已知在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{2}$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，若 $| P B | = 1$ ， $| P A | + | P C | = λ$ ，则 $λ$ 的取值范围是( )

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[2 - \sqrt{3}, + \infty)$ C、 $[1 + 2 \sqrt{3}, + \infty)$ D、 $[2 + 2 \sqrt{3}, + \infty)$

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8、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上一点，且 $B D = 2 D C$ ， $E$ 是 $A C$ 的中点，记 $\vec{A C} = \vec{m}, \vec{A D} = \vec{n}$ ，则 $\vec{B E} =$ ( )

A、 $\frac{5}{3} \vec{n} - 3 \vec{m}$ B、 $\frac{7}{2} \vec{n} - 3 \vec{m}$ C、 $\frac{7}{2} \vec{m} - 3 \vec{n}$ D、 $\frac{5}{2} \vec{m} - 3 \vec{n}$

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9、若虚数单位 $i$ 是关于 $x$ 的方程 $a x^{3} + b x^{2} + b x + 1 = 0 (a, b \in R)$ 的一个根，则 $| a + b i | =$ ( )

A、 $0$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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10、已知 $| \vec{a} | = 5$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为( )

A、 $- \frac{3}{5} \vec{b}$ B、 $\frac{3}{5} \vec{b}$ C、 $- \frac{3}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{b}$

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11、如图，正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 的边长为 $1 c m$ ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )

A、 $8 c m$ B、 $6 c m$ C、 $2 (1 + \sqrt{3}) c m$ D、 $2 (1 + \sqrt{2}) c m$

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12、下列命题正确的是( )

A、有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B、有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C、有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D、用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台

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13、 $i$ 是虚数单位，若 $(1 + m i) (2 - i)$ 为纯虚数，则实数 $m$ 的值为( )

A、 $2$ B、 $4$ C、 $- 2$ D、 $- 4$

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14、已知10件不同的产品中有4件次品，现对这10件产品一一进行测试，直至找到所有次品.

(1)、若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第8次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试情况？

(2)、若至多测试6次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？

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15、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*})$ ，且 $a_{5}, a_{6}, a_{9}$ 成等比数列，

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最小值及此时 $n$ 的值.

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16、设 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + a .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 的极大值为 $10$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的最小值．

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17、已知定义在R上的函数f（x）， $f^{'} (x)$ 为f（x）的导函数， $f^{'} (x)$ 定义域也是R，f（x）满足 $f (x + 1012) - f (1013 - x) = 4 x + 1$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} f^{'} (i) =$ .

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18、某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有种不同的涂色方法.

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19、已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，若 $a_{1} = 2, a_{4} = 2 a_{3}$ ，则 $S_{5} =$ .

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20、定义：设 $f^{^{'}} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{^{'}} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + \frac{5}{3} (a b \neq 0)$ 的对称中心为 $(1, 1)$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = - 1$ B、函数 $f (x)$ 既有极大值又有极小值 C、函数 $f (x)$ 有三个零点 D、过 $(- 1, \frac{1}{3})$ 可以作三条直线与 $y = f (x)$ 图象相切

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