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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 4) + m$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ （）

A、若 $f (x)$ 有三个零点，则 $0 < m < 4$ B、 $f^{'} (4 - x) = f^{'} (x)$ C、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 D、当 $x \geq 0, f (x) \geq 0$ 时，则 $m \geq 4$

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2、已知 $z_{1}, z_{2}$ 是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、若 $|z_{1}| = 1$ ，则 $z_{1} = i$ B、 $\forall z_{1}, z_{z} \in C, |z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ C、 $z_{1} - z_{2} > 0$ 是 $z_{1} > z_{2}$ 的充要条件 D、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1}, z_{2}$ 中至少有一个为0

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3、已知对任意的 $a$ ， $b \in R$ 都有 $(b - a) e^{b - a} \geq b e^{- b} - λ a$ 恒成立，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $e$ B、1 C、0 D、 $- e$

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4、在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C, △ P A B$ 为等腰三角形，且 $∠ A P B = 120^{\circ}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}, A C = 4, ∠ B A C = 90^{\circ}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、 $32 π$ B、 $64 π$ C、 $80 π$ D、 $128 π$

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5、已知在平面直角坐标系 $x o y$ 中， $A (- 2, 1), B (- 2, 2)$ ，动点 $P$ 满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $Q$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上一动点，且点 $Q$ 在直线 $x = - 2$ 上的投影为 $R$ ，则 $|P B| + \sqrt{2} |P Q| + \sqrt{2} |Q R|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5} + \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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6、已知 $(1 + a x) {(2 - x)}^{4} (a \in R)$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为17．则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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7、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}, \vec{b} = (2, 2), | \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{51}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(- 1, - 1)$ C、 $(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ D、 $(- 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2})$

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8、已知函数 $f (x) = cos (x + \frac{π}{3})$ ，现将函数 $f (x)$ 的图象横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变得到函数 $g (x)$ ，则 $g (\frac{π}{6})$ 值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、若 $x > 1$ ，则函数 $y = 2 x + \frac{8}{x - 1}$ 的最小值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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10、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 3}{x + 1} \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} + x - 2 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, 3]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $(- 1, 2]$ D、 $(- 1, 1]$

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11、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < π)$ 的图象如图所示，点 $B$ ， $D$ ， $F$ 为 $f (x)$ 与 $x$ 轴的交点，点 $C$ ， $E$ 分别为 $f (x)$ 的最高点和最低点，而函数 $f (x)$ 的相邻两条对称轴之间的距离为 $2$ ，且其在 $x = - \frac{1}{2}$ 处取得最小值.

(1)、求参数 $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、若 $A = 1$ ，求向量 $2 \vec{B C} - \vec{C D}$ 与向量 $\vec{C B} + 3 \vec{C D}$ 的夹角；

(3)、若点 $P$ 为 $f (x)$ 函数图象上的动点，当点 $P$ 在 $C$ ， $E$ 之间运动时， $\vec{B P} \cdot \vec{P F} \geq 1$ 恒成立，求 $A$ 的取值范围.

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12、如图，平行四边形 $O A D B$ 的两条对角线相交于点C，点 $M, N$ 满足 $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{C N} = \frac{1}{3} \vec{C D}$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，且 $|\vec{b}| = \sqrt{3} |\vec{a}|$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{M N}$ ；

(2)、若 $M N ⊥ A B$ ，求 $∠ A O B$ ．

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13、已知向量 $\vec{a} = (2 \sin x, \sqrt{3} \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sin x, 2 \sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的对称轴；

(2)、若 $f (x) < \frac{m}{10}$ 在 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 上有解，求整数m的最小值．

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14、在① $\tan α = 4 \sqrt{3}$ ， ② $7 \sin 2 α = 8 \sqrt{3} \cos α$ ， ③ $\tan \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ， _____， $\cos (α - β) = \frac{13}{14}$ .
（1）求 $\sin (α + \frac{5 π}{6})$ 的值；
（2）求 $β$ .

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15、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) = - 6$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$

(3)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ .

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16、已知 $\tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2}$ ，求

(1)、 $\sin α, \cos α$ 及 $\tan α$ 的值；

(2)、 $\sin (α - \frac{π}{4})$

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17、如图，在△ABC中， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， M是BC边上的中点，P是AM上一点，且满足 $\vec{B P} = \frac{1}{3} \vec{B A} + m \vec{B C}$ ，则 $\vec{B P} \cdot \vec{A M} =$ .

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18、已知扇形的圆心角为 $120^{\circ}$ ，弧长为 $π$ ，则该扇形的面积为．

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19、将函数 $f (x) = \sin \frac{1}{2} ω x (ω > 0)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{4 ω}$ 个单位长度，所得图象对应的函数为 $g (x)$ ，若 $g (x)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有5个零点，则（）

A、 $g (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4})$ B、 $g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{20})$ 单调递增 C、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{19}{4}, \frac{23}{4})$ D、 $y = g (x) - 1$ 在 $(0, π)$ 有且仅有3个零点

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20、对于任意的两个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $λ \in R$ ，下列命题一定正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ B、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = λ$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$ D、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | \leq | \vec{a} | | \vec{b} |$

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