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相关试卷

1、在边长为 $3$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，动点 $M$ 在棱 $A D$ 上，动点 $N$ 在棱 $C C_{1}$ 上，满足 $M N ⊥ B D_{1}$ ．以下对 $M N$ 运动过程的描述，正确的是（）

A、存在 $M N$ ，满足 $M N ⊥ D_{1} A_{1}$ B、存在 $M N$ ，使 $M N$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、点 $C$ 到平面 $M N D_{1}$ 的距离为定值 D、四面体 $M N D_{1} A_{1}$ 的体积为定值 $\frac{9}{2}$

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2、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的图象满足以下特征：图象经过点 $(0, \sqrt{3})$ ，并且在 $y$ 轴右侧的第一个零点为 $\frac{π}{9}$ ，第一个最低点为 $(\frac{5 π}{18}, - 2)$ ，则下列有关函数 $f (x)$ 及其性质的描述正确的是（）

A、 $φ = \frac{2 π}{3}$ B、 $x = \frac{π}{18}$ 为函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{18}$ 个单位长度后，将得到一个偶函数的图象 D、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[\frac{5 π}{18} + \frac{2 k π}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 k π}{3}] (k \in Z)$

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3、下列命题正确的是（）

A、若样本数据 $x_{1}, x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{6}$ 的方差为2，则数据 $2 x_{1} - 1 ， 2 x_{2} - 1 ， \dots ， 2 x_{6} - 1$ 的方差为4 B、若 $P (A) = 0.6$ ， $P (B ∣ A) = 0.5, P (B ∣ \bar{A}) = 0.2$ ，则 $P (B) = 0.38$ C、在一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $(x_{n}, y_{n})$ ， ( $n \geq 2$ ， $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 不全相等)的散点图中，若所有样本点 $(x_{i}, y_{i}), (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ 都在直线 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 上，则这组样本数据的线性相关系数为 $- \frac{1}{2}$ D、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 $z = ln y$ ，求得经验回归方程为 $\hat{z} = 4 x + 0.3$ ，则 $c, k$ 的值分别是 $e^{0.3}$ 和4

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4、设 $f (x) = \{\begin{cases} |{log}_{2} x| (0 < x \leq 2) \\ sin (\frac{π x}{4}) (2 < x < 10) \end{cases}$ ，若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $\frac{(x_{3} - 2) (x_{4} - 2)}{x_{1} x_{2}}$ 的范围是（）

A、 $(0, 12)$ B、 $(4, 16)$ C、 $(9, 21)$ D、 $(15, 25)$

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5、某空间站由 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去 $A$ 舱，则不同的安排方法的种数为（）

A、35 B、36 C、42 D、50

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6、2025年江门市中小学数学建模大赛中，培英高中两个代表队参赛均获得一等奖，震惊全市．为此市政求助我校建模小组帮忙解决停车难问题．市区有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形 $A B C D$ ），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形 $A E F G$ ），为解决停车位不足问题，建模小组提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．其中 $M E$ 长5.5米，停车位相对道路倾斜的角度 $∠ E^{'} A_{1} M = θ$ ，其中 $θ \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $\sin θ$ 和 $\cos θ$ 的值；

(2)、求 $A_{1} M$ 和 $A_{n} N$ 的长；

(3)、按照建模小组的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？

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7、已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的互生向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的互生函数．

(1)、若函数 $f (x) = \cos (\frac{π}{2} + x) + \cos (- x)$ ，试求 $f (x)$ 的互生向量 $\vec{O M}$ ；

(2)、若向量 $\vec{O N} = (\sqrt{3}, - 1)$ 的互生函数为 $f (x)$ ，求函数 $y = f (2 x)$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上的增区间；

(3)、若向量 $\vec{O A} = (0, 1)$ 的互生函数为 $f (x)$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $\cos C = f (\frac{π}{6})$ ，若点G为该 $△ A B C$ 的外心，求 $\vec{G A} \cdot \vec{G B}$ 的值．

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8、若 $\cos (x - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 x + \frac{π}{6}) =$ ．

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9、已知复数z在复平面上对应的向量 $\vec{O Z} = (- 1, 2)$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ ．

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10、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z_{1} = a + 2 i$ ， $z_{2} = 2 - i$ ，且 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则实数 $a$ 的值可为（　　）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $2$

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11、如图所示，在正方形ABCD中，已知| $\vec{A B}$ |=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则 $\vec{A B} \cdot$ $\vec{A N}$ 的最大值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12、在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $D C$ 的中点，若 $\overset{⇀}{A E} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的值为

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、1

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} - m x^{2} (m \in R)$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in (0, + \infty)$ 时，若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明： $x_{1} + x_{2} > 4$ ．

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14、如图，在正方体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 中， $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} C_{1} //$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若 $B D_{1} = 6$ ，求点 $B$ 到平面 $A E C$ 的距离.

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} a_{n} + 2, n 为奇数 \\ a_{n} + 3, n 为偶数 \end{array}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前40项和为.

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16、若椭圆 $E : \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，则 $E$ 的长轴长为．

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17、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，准线为 $l$ ，过焦点 $F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 分别作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A^{'}, B^{'}$ ，则（）

A、 $F A^{'} ⊥ F B^{'}$ B、若 $|A F| = 3 |B F|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ C、 $A, O, B^{'}$ 三点共线（其中 $O$ 为坐标原点） D、 ${|A^{'} B^{'}|}^{2} = 4 |A F| |B F|$

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18、已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + b^{2} (b < 0)$ 在 $x = - 1$ 处有极值，且极值为8，则（）

A、 $f (x)$ 有三个零点 B、 $b = c$ C、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程为 $3 x + y + 4 = 0$ D、函数 $y = f (x) - 2$ 为奇函数

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19、已知 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{3} = - 80$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = - 1$ D、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} = 121$

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20、已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，且满足 $f^{'} (x) + f (x) > 0$ 对 $x \in [0, 1]$ 恒成立， $A$ ， $B$ 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{f (\sin A)}{e^{\sin B}} < \frac{f (\sin B)}{e^{\sin A}}$ B、 $\frac{f (\sin A)}{e^{\sin B}} > \frac{f (\sin B)}{e^{\sin A}}$ C、 $\frac{f (\cos A)}{e^{\sin B}} < \frac{f (\sin B)}{e^{\cos A}}$ D、 $\frac{f (\cos A)}{e^{\sin B}} > \frac{f (\sin B)}{e^{\cos A}}$

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