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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |\frac{x + 1}{x - 2} \leq 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 4 x + 4 - a^{2} \leq 0, a \in R\}$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若存在正实数 $a$ ，使得“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”成立的充分条件，求正实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x + b) (\sqrt{x + 1} - 2)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为.

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3、函数 $y = \frac{x + 1}{x - a}$ 的图像关于点 $(2, b)$ 中心对称，则 $\frac{b}{a} =$ .

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4、设 $m, n \in R$ ，集合 $M = \{1, m\}$ ， $N = \{- 1, - n\}$ ，若 $M = N$ ，则 $m - n =$ .

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5、设函数 $f (x) = (x - 1) |x|$ ，则下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 在 $(0, a)$ 上单调递减，则 $0 < a \leq \frac{1}{2}$ B、当 $- 1 < x < 1$ 时， $f (1 - x) \geq f (x)$ C、对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 总成立 D、若 $f (x)$ 在区间 $(m, n)$ 上既有最大值也有最小值，则 $n - m \geq \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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6、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为8 C、 $a (b - 1)$ 的最小值为 $\frac{1}{8}$ D、 $a^{2} + 4 b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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7、下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ 的定义域为 $[- 2, 2]$ B、若 $f (x - 1) = x^{2} - x$ ，则 $f (2) = 2$ C、函数 $f (x) = 3 - \frac{2}{x}$ 在 $[1, 3]$ 上的值域为 $[1, \frac{7}{3}]$ D、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x - 3}$ 的单调递增区间为 $[1, + \infty)$

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8、设函数 $y = f (x) - x^{2}$ 是奇函数，若 $g (x) = f (x) + 2$ ， $f (2) = 5$ ，则 $g (- 2) =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 2$ C、2 D、5

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9、若关于 $x$ 的不等式 $a x - b < 0$ 的解集为 ${x ∣ x > 2}$ ，则关于 $x$ 不等式 $\frac{a x + b}{2 x - 1} < 0$ 的解集为（）

A、 $\{x ∣ - 2 < x < \frac{1}{2}\}$ B、 $\{x |x < - 2 或 x > \frac{1}{2}\}$ C、 $\{x |\frac{1}{2} < x < 2\}$ D、 $\{x |x < \frac{1}{2} 或 x > 2\}$

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10、下列四个函数中，值域为 $[0, + \infty)$ 的函数是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = x^{- 2}$ C、 $y = |x^{2} - x + 2|$ D、 $y = \sqrt{2 x^{2} + x - 1}$

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} + x + a (x \in R)$ ，则“ $f (0) = 0$ ”是“ $f (x)$ 是奇函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x - 8$ 在区间 $[2, + \infty)$ 上为增函数，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 8]$ B、 $(- \infty, 16]$ C、 $[8, + \infty)$ D、 $[16, + \infty)$

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13、已知 $x > 0$ ，则 $2 x + \frac{1}{x}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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14、命题“ $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ B、 $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ C、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ D、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} - 3 x + 2 < 0$

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15、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{0, 1, 3\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$

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16、已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} + b}{x} (x > 0, a > 1)$ 存在极值点 $x_{0}$ ．

(1)、当 $b = 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求b的取值范围并证明 $f (x) \geq f (x_{0})$ ；

(3)、若 $\frac{a}{b} = e$ 且 $f (x) \geq \frac{1}{x_{0} - 1}$ ，求a的取值范围．

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17、已知椭圆 $Γ_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(- 2, - 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $Γ_{1}$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点， $P$ ， $Q$ 为 $Γ_{1}$ 上两个动点，且 $O P ⊥ O Q$ ，作 $O M ⊥ P Q$ ，垂足为 $M$ .
（i）线段 $O M$ 的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（ii）设点 $M$ 的轨迹为 $Γ_{2}$ ，过点 $P$ 作 $Γ_{2}$ 的切线交 $Γ_{1}$ 于点 $N$ （异于 $P$ 、 $Q$ ），求 $△ P Q N$ 面积的最小值.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D = A D = 1$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P A D$ 与平面 $P B D$ 夹角为 $45 °$ .

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的体积；

(3)、点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别在棱 $A B$ ， $B C$ ， $P B$ 上，当 $\frac{B G}{G P} = \frac{B F}{F C} = \frac{B E}{E A}$ 时，求直线 $A D$ 与平面 $E F G$ 所成角的正弦值.

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19、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b_{1}$ ，点 $P (b_{n}, b_{n + 1})$ 在直线 $x - y + 2 = 0$ 上， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\vec{m} = (cos B, cos C)$ ， $\vec{n} = (- 2 a + c, b)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若三角形为锐角三角形，且 $b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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