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相关试卷

1、记 $△ A B C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sqrt{3} sin C = \sqrt{2} cos B ， a^{2} + b^{2} - c^{2} - \sqrt{2} a b = 0$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $b + c = \sqrt{2} + 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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2、已知直线 $l : a x + 2 y - a - 4 = 0$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、求直线 $l$ 所过定点．

(2)、当直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是它在 $y$ 轴上的截距 $3$ 倍时，求实数 $a$ 的值．

(3)、若直线 $l$ 不经过第四象限，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为 $1$ ，动点 $M$ 在面 $A B C$ 上运动，且满足 $\vec{P M} = - \vec{P A} - \vec{P B} + m \vec{P C}$ ，　则 $\vec{P M} \cdot \vec{A B}$ 的值为.

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4、对于直线 $l : (m - 1) x + y - 2 m + 3 = 0$ ，下列选项正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过点 $(2, - 1)$ B、当 $m = 0$ 时，直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $3$ C、已知点 $A (3, 1), B (- 1, 2)$ ，若直线 $l$ 与线段 $A B$ 相交，则 $m$ 的取值范围是 $[0, 3]$ D、坐标原点到直线 $l$ 的距离的最大值为 $\sqrt{5}$

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5、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ ，则 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 四点共面 B、已知两个向量 $\vec{a} = (m, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4, n)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m + n = 5$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，且 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ，则 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} = 0$ D、 $\vec{a} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(0, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

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6、直线 $l_{1} : x + (m + 1) y - 2 m - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : (m + 1) x - y - 2 m - 2 = 0$ 相交于点P，对任意实数m，直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别恒过定点 $A, B$ ，则 $| P A | + | P B |$ 的最大值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、4

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7、若向量 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 2, 0, 1)$ ，则（）

A、 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = - \frac{1}{2}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ D、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

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8、直线 $x - \sqrt{3} y - 3 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $150^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $a_{1} = b_{1} = 2, a_{2} = b_{2} + 1, a_{3} = b_{3}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、 $\forall n \in N^{*}$ ， $I = \{0, 1\}$ ，有 $T_{n} = \{p_{1} a_{1} b_{1} + p_{2} a_{2} b_{2} + ... + p_{n - 1} a_{n - 1} b_{n - 1} + p_{n} a_{n} b_{n} | p_{1}, p_{2}, ..., p_{n - 1}, p_{n} \in I\}$ ，
（i）求证：对任意实数 $t \in T_{n}$ ，均有 $t < a_{n + 1} b_{n + 1}$ ；
（ii）求 $T_{n}$ 所有元素之和．

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $∠ B A P = ∠ B A D$ ， $C D = 1$ ， $A B = A P = A D = 2$ ， $D P = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $A B ⊥ D P$ ；

(2)、若 $C D ⊥ A D$ ，求直线 $B P$ 与平面 $C D P$ 所成角的正弦值．

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11、若关于x的不等式 $ln x \leq \frac{1}{a} x^{2} - b x + 1$ 恒成立，则 $a b$ 的最大值是.

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12、已知函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (|φ| < π)$ 的部分图象如图所示，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $- \frac{2 π}{3}$ D、 $- \frac{5 π}{6}$

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13、已知 $l, m$ 是两条不同的直线， $α$ 为平面， $m \subset α$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $l \cap α = A$ ，且 $l$ 与 $α$ 不垂直，则 $l$ 与 $m$ 一定不垂直 B、若 $l$ 与 $α$ 不平行，则 $l$ 与 $m$ 一定是异面直线 C、若 $l \cap α = A$ ，且 $A \notin m$ ，则 $l$ 与 $m$ 可能平行 D、若 $l / / α$ ，则 $l$ 与 $m$ 可能垂直

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14、已知集合 $A = \{1, 2\}, B = \{1, 2, 3\}, C = \{\begin{matrix} x | x^{2} - 2 x - 3 < 0 \end{matrix}\}$ ，则 $(A \cap B) \cap C =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{\begin{matrix} 3 \end{matrix}\}$ D、 $\{1, 2\}$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列，且 $a_{3}^{2}$ ， $a_{7}^{2}$ ， $a_{9}^{2}$ 成等差数列， $a_{3}$ ， $a_{6}$ ， $a_{m} (m \in N^{*})$ 成等比数列， $a_{3} + a_{6} + a_{m} = 21$ .

(1)、求m的值及 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 3 a_{n} + 5$ ， $n \in N^{*}$ ，求证： $\frac{1}{b_{1}^{2}} + \frac{1}{b_{2}^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n}^{2}} < \frac{1}{2}$ .

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x + b$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴相切于原点．
（ⅰ）求 $f (x)$ 的解析式，并证明：对任意的 $x \in R$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立；
（ⅱ）若 $f (x) = k x \sin x$ 在 $(0, π)$ 上有唯一实根，求实数 $k$ 的取值范围．

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧棱长均为 $2 \sqrt{17}$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形， $B C = 8, C D = 12$ .

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A B$ .

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的正弦值.

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 实轴端点分别为 $A_{1} (- a, 0)$ 、 $A_{2} (a, 0)$ ，右焦点为 $F$ ，离心率为 $2$ ，过 $A_{1}$ 点的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于另一点 $B (x, 3)$ ，已知 $△ A_{1} B F$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ ．

(1)、求双曲线的方程；

(2)、若过点 $F$ 的直线 $l^{'}$ 与双曲线 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点，试探究直线 $A_{1} M$ 与直线 $A_{2} N$ 的交点 $Q$ 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．

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19、函数 $f (x) = [a x^{2} - (4 a + 1) x + 4 a + 3] e^{x}$ 在 $x = 2$ 处取得极大值，则实数 $a$ 的取值范围为．

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20、如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中， $A_{1} A_{2} B_{1} B_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的四个顶点， $F$ 为其右焦点，直线 $B_{1} F$ 与直线 $A_{1} B_{2}$ 相交于点T，线段 $O T$ 与椭圆的交点 $M$ 恰为线段 $O T$ 的中点，则该椭圆的离心率为.

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