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相关试卷

1、某次考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，有错误选项不得分.若答案是两项，选对一项得3分，选对两项得6分，答案是三项，选对一项得2分，选对两项得4分，选对三项得6分.”已知某选择题的正确答案是AB，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）

A、甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 $\frac{1}{2}$ B、乙同学仅随机选两个选项，能得6分的概率是 $\frac{1}{6}$ C、丁同学随机至少选择两个选项，但不选四项，能得分的概率是 $\frac{1}{10}$ D、丙同学随机选择选项，但不选四项，能得分的概率是 $\frac{2}{7}$

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2、已知直线 $l_{1} : x + m y - 3 m - 1 = 0$ 与 $l_{2} : m x - y - 3 m + 1 = 0$ 相交于点 $M$ ，线段 $A B$ 是圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 的一条动弦，且 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的最小值为（）

A、 $16 + 4 \sqrt{2}$ B、 $6 - 4 \sqrt{2}$ C、 $5 + 6 \sqrt{3}$ D、 $20 \sqrt{5} - 1$

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3、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点，圆 $O_{1}$ 为以 $A B$ 为直径的 $△ A B C$ 的外接圆，若圆 $O_{1}$ 的面积为 $4 π$ ， $A B = O O_{1}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $80 π$ B、 $64 π$ C、 $36 π$ D、 $32 π$

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4、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为 $2$ ，若直线 $y = - \sqrt{3} (x + 1)$ 与椭圆交于点 $M$ ，满足 $∠ M F_{1} F_{2} = 2 ∠ M F_{2} F_{1}$ ，则离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5、已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots x_{10}$ ，满足： $x_{i} - x_{i - 1} = 2 (2 \leq i \leq 10)$ ，若去掉 $x_{1}$ ， $x_{10}$ 后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（）

A、中位数不变 B、平均数不变 C、若 $x_{1} = 1$ ，则数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots x_{10}$ 的第80百分位数为15 D、方差变小

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6、在空间直角坐标系中，已知点 $P (x, y, z)$ 下列叙述中正确的是（）
①点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点是 $P_{1} (x, - y, z)$
②点 $P$ 关于 $y O z$ 平面的对称点是 $P_{2} (- x, y, z)$
③点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点是 $P_{3} (x, - y, z)$
④点 $P$ 关于原点的对称点是 $P_{4} (- x, - y, - z)$

A、①② B、①③ C、②④ D、②③

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7、若 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ ，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

A、 $\vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}$ B、 $\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{c}$ D、 $\vec{b}, \vec{a}, \vec{a} + \vec{b}$

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8、某学校有男生700名、女学生400名.为了解男女学生在学习立体几何的空间想象能力方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）

A、抽签法 B、随机数法 C、系统抽样法 D、分层抽样法

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c \sin C \cos B + c \sin B \cos C + \sqrt{3} a \cos C = 0$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、已知 $c = 7$ ， $a b = 15$ ，求 $a$ .

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10、在G5联盟考试成绩中，从某班随机抽取8名同学的数学成绩，分数从低到高为：70，77，90，101，115，119，138，149，则第70百分位数为.

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11、已知复数 $z_{1} = a + b i$ ， $z_{2} = a - b i (a \in R, b \in R)$ ，且 $b \neq 0$ ，则以下四个命题正确的是（）

A、 $z_{1} + z_{2} \in R$ B、 $z_{1} - z_{2}$ 为纯虚数 C、 $z_{1} z_{2}$ 为纯虚数 D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为虚数

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12、曲线 $y = sin (ω x + 1)$ 与 $y = - 2 cos (ω x + 2)$ 在 $x \in (0, π)$ 内有3个交点，则 $ω$ 可能的值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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13、把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（）

A、1 B、 $\sqrt{2} - 1$ C、2 D、 $\sqrt{2} + 1$

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14、曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{m + 1} - \frac{y^{2}}{m + 3} = 1$ ，则“ $m > - 1$ ”是“曲线 $C$ 表示双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、直线 $l : x = 0$ 的倾斜角为（）

A、0 B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、不存在

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16、定义：P，Q为一个几何系统中的任意两点，则 $d (P, Q)$ 为这两个点的最大距离，例如，某个几何系统由一个圆构成，则 $d (P, Q)$ 为此圆的直径.

(1)、已知 $△ A B C$ 为边长为2的正三角形，求由 $△ A B C$ 的外接圆构成的几何系统的 $d (P, Q)$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 为直角边为2的等腰直角三角形，其中 $A B ⊥ A C$ ，求分别以 $△ A B C$ 三边为直径的三个圆构成的几何系统的 $d (P, Q)$ ；

(3)、已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为2，求由正四面体的棱切球（与各棱相切的球）和 $△ B C D$ 的外接圆所构成的几何系统的 $d (P, Q)$ .（此小题只要求给出答案，不需过程.）

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17、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $△ S A D$ 为等边三角形，且S在平面 $A B C D$ 上的射影为 $A D$ 中点P， $A B = 1$ ， $V_{S - A B C D} = \frac{2}{3} \sqrt{3}$ .

(1)、若E为棱 $S B$ 的中点，求证： $P E / /$ 平面 $S C D$ ；

(2)、在棱 $S C$ 上是否存在点M，使得直线 $S C$ 与平面 $P M B$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ ，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由.

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18、已知双曲线C的两个焦点坐标分别为 $F_{1} (- 2 \sqrt{2}, 0)$ ， $F_{2} (2 \sqrt{2}, 0)$ ，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4.

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、经过点 $M (3, 1)$ 作直线 $l$ 交双曲线的右支于A，B两点，且M为 $A B$ 的中点，求直线 $l$ 的方程；

(3)、已知定点 $G (\sqrt{2}, 3)$ ，点D是双曲线右支上的动点，求 $|D F_{1}| + |D G|$ 的最小值.

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19、某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东 $θ$ 角（ $θ$ 为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心 $75 \sqrt{3}$ km以内会受其影响.

(1)、若此人刚好不被台风影响，求 $\tan θ$ 的最大值；

(2)、若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？

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20、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中的一个椭圆，中心为原点，左焦点 $F (- 1, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求该椭圆的标准方程；

(2)、已知点 $A (1, 1)$ ，若P是椭圆上的动点，求线段 $P A$ 中点M的轨迹方程.

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