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相关试卷

1、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点， $P$ 为四边形 $A B C D$ 内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $E - A B D$ 外接球的表面积为9π B、若 $P E = \sqrt{3}$ ，则点P的轨迹长度为 $\sqrt{2} π$ C、 $P E + P C_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{17}$ D、若直线 $P E$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $P B$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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2、2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在 $[10, 50]$ 的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（）

A、 $a = 0.03$ B、该场观众年龄众数的估计值为40 C、该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D、该场观众年龄平均数的估计值为35

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3、如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 旋转形成的抛物面，当放入一个半径为 $1$ 的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的 $A$ 点，当放入一个半径为 $3$ 的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的 $A$ 点，则 $p$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 3)$ B、 $[1, 9)$ C、 $[1, 2)$ D、 $(1, 2 \sqrt{2})$

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4、一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件 $A$ 为“第一次向下的数字为1或2”，事件 $B$ 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{1}{4}$ B、事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥 C、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 D、 $P (A \cup B) = \frac{1}{7}$

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5、已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 均为单位向量， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = ⟨\vec{b}, \vec{c}⟩ = 90^{°}$ ， $⟨\vec{a}, \vec{c}⟩ = 60^{°}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| =$ （）

A、4 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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6、已知直线 $3 x - 4 y + 2 = 0$ 是圆 $M : x^{2} + y^{2} + 2 a x = 0 (a > 0)$ 的一条对称轴，则圆 $M$ 和圆 $N : {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{1}{9}$ 的位置关系是（）

A、相交 B、外切 C、内切 D、外离

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7、已知方程 $\frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{m^{2} - 4} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $(- 2, 2)$

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8、数据3，7，8，9，12的第60百分位数是（）

A、 $7.5$ B、 $8$ C、 $8.5$ D、 $9$

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9、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 5 m + 7) x^{m - 1}$ 为偶函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) - n x - 3$ 在区间 $[2, 3]$ 上不单调，求实数 $n$ 的取值范围.

(3)、若 $a \geq 0$ ，求不等式 $a f (x) - (2 a + 1) x + 2 < 0$ 的解集.

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10、全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | x^{2} - 6 x + 5 \leq 0\}$ ，非空集合 $B = \{x | 2 - a \leq x \leq 1 + 2 a\}$ .

(1)、若 $a = 4$ ，求 $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求 $a$ 的取值范围.

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11、若角 $α$ 满足 $\sin α + \cos α = - \frac{1}{5}, α \in (0, π)$

(1)、求 $\sin α - \cos α$ 的值；

(2)、求 $\frac{3 \sin α \cos α}{\sin^{2} α - 2 \cos^{2} α}$ 的值.

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12、若函数 $f (x)$ 的自变量取值范围为 $[a, b]$ 时，函数值的取值范围恰好是 $[\frac{2}{b}, \frac{2}{a}]$ ，就称区间 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的一个“和谐区间”.
（1）函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ “和谐区间”（填“有”或“没有”）
（2）当 $x \in (1, + \infty)$ 时， $f (x) = \frac{1}{{log}_{2} x}$ ，则 $f (x)$ 的“和谐区间”为.

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13、下列说法不正确的有（）

A、已知函数 $f (x) = a^{x - 3} + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过定点 $(3, 1)$ . B、若 $x \in (0, π),$ 则 $\sin x + \frac{4}{\sin x}$ 有最小值2 C、若不等式 $a x^{2} + 2 x + c > 0$ 的解集为 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ ，则 $a + c = 2$ . D、函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$ 在定义域上是增函数.

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14、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ （ $x_{1} \neq x_{2}$ ）都有 $[x_{2}^{2} f (x_{1}) - x_{1}^{2} f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) < 0$ .记 $a = f (1)$ ， $b = \frac{f (2)}{4}$ ， $c = \frac{f (- 3)}{9}$ ，则（）

A、 $g (x) = \frac{f (x)}{x^{2}}$ 为奇函数 B、 $g (x) = \frac{f (x)}{x^{2}}$ 为偶函数 C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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15、函数 $f (x) = \log_{\frac{3}{4}} (- x^{2} + x + 2)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ B、 $(- 2, - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- 1, \frac{1}{2})$

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16、已知函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (a > b)$ 的图象如图所示，则函数 $g (x) = a^{x} + b$ 的图象大致是（       ）


A、    B、    C、    D、

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17、已知 $\sin (\frac{2 π}{5} - x) = \frac{1}{3},$ 则 $\cos (\frac{π}{10} + x) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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18、函数 $f (x) = 2^{x} + x$ 的零点所在区间为（　　）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- 2, - 1)$

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19、已知集合 $A = \{1, 2, 3, a^{2}\}, 4 \in A$ ，则 $a =$ （）

A、 $2$ B、 $\pm 2$ C、4 D、 $\pm 4$

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20、设 $f (x) = \frac{e^{x}}{a} + \frac{1}{2} x^{2} + b$ ， $x \in R$ ， $a \in R$ .已知函数 $y = f (x) - x^{2}$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = x$ .

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、当 $x \in [0, 1]$ 时，不等式 $x^{2} + x \leq f (x) \leq - 2 + \frac{4}{2 - x} + \frac{1}{2} x^{2}$ 是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例.

(3)、证明：若正实数 $x_{0}$ 满足 $\frac{1}{n} \leq f (x_{0}) \leq \frac{2}{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，则必有 $\frac{1}{n + 1} \leq x_{0} \leq \frac{2}{n + 2}$ ．

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