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相关试卷

1、已知点 $P (1, 4)$ ，双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且双曲线的一条渐近线与直线 $A P$ 垂直.

(1)、求双曲线的离心率；

(2)、设点 $M$ 在双曲线上，且 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ，求点 $M$ 到 $x$ 轴的距离；

(3)、过 $F_{2}$ 且斜率为 $1$ 的直线与双曲线交于 $D$ 、 $E$ 两点，求线段 $D E$ 的长度.

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2、（1）已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $P (1, y_{0}) (y_{0} > 0)$ 到其焦点的距离为5，求抛物线的方程；
（2）求与双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 有公共渐近线，且经过点 $(- 3, 2 \sqrt{3})$ 的双曲线的标准方程.

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3、已知椭圆和双曲线有共同的焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $M$ 是它们的一个交点，且 $\cos ∠ F_{1} M F_{2} = \frac{1}{4}$ ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1} e_{2}}$ 的最大值为．

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4、焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过 $P (3, - 2 \sqrt{6})$ 的椭圆的标准方程为．

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5、若直线 $2 x + a y = 2$ 与 $a x + 2 y = 1$ 垂直，则 $a =$ ．

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，直线 $l$ 不经过点 $P (2, 1)$ ，且斜率为 $\frac{1}{2}$ .若 $l$ 与 $C$ 交于两个不同点 $A, B$ 且直线 $P A, P B$ 的倾斜角分别为 $α, β$ ，则 $sin \frac{α + β}{4} =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7、过三点 $A (1, 2)$ ， $B (3, 2)$ ， $C (1, - 6)$ 的圆交 $y$ 轴于 $M$ ， $N$ 两点，则 $|M N| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{13}$

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8、已知直线 $l : m (x + y + 1) + n (2 x - y - 1) = 0, m \in R, n \in R$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (1, - 2), B (2, 1)$ 两点的线段总有公共点，则 $l$ 的倾斜角范围为（）

A、 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{3 π}{4}, π)$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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9、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 两条渐近线的夹角为 $60 °$ ，则该双曲线的离心率e为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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10、直线 $x - \sqrt{3} y + 3 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11、某工厂为监控生产线上的产品质量，设置了 $n$ （ $n \geq 2$ ）个等间隔的质量检测时间点，编号从 $1$ 到 $n$ ，相邻时间点间隔为 $1$ 小时.每天质量监控部门会从这 $n$ 个时间点中随机选取若干个时间点（至少选取一个）去进行产品抽检，选取的抽检时间点中最小编号为 $X$ （最早抽检时间），最大编号为 $Y$ （最晚抽检时间）. $Y - X$ 称为抽检时间跨度，是抽检方案设计中的关键参数，它反映了抽检在时间轴上的覆盖范围.

(1)、当 $n = 3$ 时，求 $E (X)$ ；

(2)、求 $P (X \leq 2)$ 和 $P (Y \geq n - 1)$ ；

(3)、求 $E (X) + E (Y)$ 的表达式.

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a \ln x, a \in (0, 1)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：方程 $f (x) = f (a)$ 有两个根 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ；

(3)、在（2）的条件下，证明： $2 - \sqrt{a} < x_{2} < 2 - a$ .

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13、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 是正方形， $A B ⊥$ 平面 $C B B_{1} C_{1}, A B = B B_{1} = 2$ ，点 $M$ 在线段 $A_{1} B_{1}$ 上，点N在线段AC上，满足 $A_{1} N / /$ 平面 $B C M$ .

(1)、若点M是线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，求线段AN的长度；

(2)、若点N是线段AC上靠近A的三等分点，求平面 $A B M$ 与平面 $B M C_{1}$ 所成角的余弦值.

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14、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a \sin C = c \sin 2 A$ .

(1)、求A；

(2)、若 $c - 2 b = 2, a = 2 \sqrt{7}$ ，求 $\sin (A - B)$ .

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{2} = 4, a_{n + 1} = \{\begin{matrix} 3 a_{n} + 1, 当 a_{n} 为奇数 \\ \frac{a_{n}}{2}, 当 a_{n} 为偶数 \end{matrix}$ ，则 $S_{150} =$ .

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16、已知平面向量 $\vec{a} = (n, 1), \vec{b} = (1, n)$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ ，且 $(\vec{a} - k \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ， $k$ 为实数，则 $k =$ .

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17、已知函数 $f (x) = a^{x} - a^{\frac{1}{x}}, a > 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、对任意的 $a > 1, f (x)$ 均有两个零点 B、若方程 $f (x) = m$ 有两实根，则 $m \in (- \infty, 1]$ C、若正实数 $s, t$ 满足 $f (s) + f (t) = 0$ ，则 $s + t \geq 2$ D、若 $s + t = 0$ ，则 $f (s) + f (t) \geq 0$

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18、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (\bar{A}) = \frac{1}{2}, P (\bar{B}) = \frac{1}{3}, P (A \bar{B}) = \frac{1}{12}$ ，则（）

A、 $P (A + \bar{B}) = \frac{3}{4}$ B、 $P (\bar{A} \bar{B}) = \frac{1}{3}$ C、 $P (A ∣ \bar{B}) = \frac{1}{4}$ D、 $P (B ∣ A) = \frac{5}{6}$

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19、已知 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 \leq φ \leq \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且将函数 $f (x)$ 的图象向左平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、当 $φ = 0$ 时，函数 $g (x) = - \cos 2 x$ C、若 $(\frac{π}{12}, 0)$ 是函数 $g (x)$ 的一个对称中心，则 $φ = \frac{π}{3}$ D、当 $φ = \frac{π}{4}$ 时，函数 $f (x)$ 在区间 $[- a, a]$ 上单调递增，则 $a$ 的最大值为 $\frac{π}{8}$

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20、为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即 $\frac{n (A)}{n (B)} = \frac{S (A)}{S (B)}$ ，其中 $S (A), S (B)$ 为事件 $A, B$ 对应区域的面积， $U$ 表示样本空间.下图中，事件A与事件B相互独立的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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