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相关试卷

1、对于 $\forall x \in R$ ，函数 $f (x)$ 都满足 $f (2 + x) = f (2 - x)$ ，且 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递增，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) < f (5) < f (- 2)$ B、 $f (5) < f (0) < f (- 2)$ C、 $f (- 2) < f (0) < f (5)$ D、 $f (5) < f (- 2) < f (0)$

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2、已知函数 $f (x) = (x - a) (x - b)$ （其中 $a > b$ ）的图象如图所示，则函数 $g (x) = a^{x} + b$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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3、若正数a，b满足 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$ ，则 $2 a + 3 b$ 的最小值是（）

A、23 B、24 C、25 D、26

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4、若 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 1, & x < 0 \\ 2 x + 3, & x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、0

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5、函数 $y = f (x) = a^{x - 1} + 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 经过定点 $P$ 的坐标（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 2)$

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6、下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $f (x) = - x^{3}$ B、 $f (x) = 2 x$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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7、命题“ $\forall x \in R, x^{2} + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} + 1 < 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 < 0$

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8、若 $A = {4, 5, 6, 7}, B = {x ∣ x = 2 k - 1, k \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${4, 5}$ B、 ${4, 6}$ C、 ${4, 7}$ D、 ${5, 7}$

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9、已知二次函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(1, 13)$ ，且 $f (x - \frac{1}{2}) = f (- x - \frac{1}{2})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $t < 2, g (x) = [f (x) - x^{2} - 13]$ . $|x|$ ，求函数 $g (x)$ 在 $[t, 2]$ 上的最小值（直接写出答案）；

(3)、若 $h (x) = [f (x) - x^{2} - 11] \cdot |x - a|, a \in R$ ，若函数 $h (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上是单调函数，求 $a$ 的取值范围.

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10、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ．

(1)、判断函数的奇偶性，并加以证明；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

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11、已知集合 $A = \{2, 4, 2 a^{2}\}, B = {2, a + 3}$ .

(1)、若 $a = 0$ ，全集 $U = {x \in N ∣ x \leq 4}$ ，求 $∁_{U} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $a$ 的值.

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12、不等式 $\frac{1}{x} \geq x$ 的解集是．

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13、设正数x，y，z满足 $x^{2} = 2^{a} ， y^{3} = 3^{a} ， z^{5} = 5^{a}$ ，则下列结论可能成立的是（）

A、 $15 x^{2} < 10 y^{3} < 6 z^{5}$ B、 $10 y^{3} < 15 x^{2} < 6 z^{5}$ C、 $15 x^{2} = 10 y^{3} = 6 z^{5}$ D、 $6 z^{5} < 10 y^{3} < 15 x^{2}$

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14、下列不等式，其中正确的有（）

A、 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ ( $a > 0$ ，且 $b > 0$ ) B、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为1 C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 (a - b - 1)$ D、 $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$

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15、若函数 $y = x - \frac{a}{x} + \frac{a}{2}$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $[1, + \infty)$

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16、已知 $x > 0$ ，则 $\sqrt{2 x (4 - 2 x)}$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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17、已知 $△ A B C$ 顶点坐标分别为 $A (- 1, \sqrt{3}), B (- 1, - \sqrt{3}), C (- 4, 0)$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆 $T$ 的方程；

(2)、设点 $D (3, \sqrt{3})$ ，若圆 $T$ 上存在点 $P$ ，使得 $P A^{2} + P D^{2} = λ$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围；

(3)、设斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $T$ 交于 $E, F$ 两点（不与原点 $O$ 重合），直线 $O E, O F$ 斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - 3$ ，证明：直线 $l$ 恒过定点．

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18、在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{c}| = 4$ ， $∠ A O B = 60 °$ 、 $∠ C O B = 90 °$ 、 $∠ A O C = 120 °$ ，点 $D$ 在棱 $B C$ 上，且 $B D : D C = 1 : 2$ .

(1)、计算 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c}$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c}$ 的值；

(2)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{A D}$ ；

(3)、在线段 $A D$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $O P ⊥ B C$ ？若存在，求 $A P : P D$ 的值，若不存在，请说明理由.

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19、已知直线l： $(a - 1) y = (2 a - 3) x + 1$ ．

(1)、求证：直线l过定点；

(2)、若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．

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20、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 和定点 $A (1, 2)$ ，若点P、Q分别为圆O外和圆O上两点，且满足 $\vec{O Q} \cdot \vec{P Q} = 0$ ， $∣ \vec{P Q} ∣ = ∣ \vec{P A} ∣$ ，则 $\vec{P O} \cdot \vec{P Q}$ 的最小值为．

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