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相关试卷

1、设 $k \in R$ ，过定点A的动直线 $l_{1}$ ： $x + k y = 0$ 与过定点B的动直线 $l_{2}$ ： $k x - y + 3 - k = 0$ 交于点P，则下列说法正确的有（）

A、 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} = 16$ B、 $△ P A B$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{1}{|P A|} + \frac{1}{|P B|} \geq \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $|P A| + \sqrt{3} |P B|$ 的最大值为 $2 \sqrt{10}$

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2、如图所示，点 $A (1, 2)$ ， B均在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，等腰直角 $△ A B C$ 的斜边为 $B C$ ，点C在x轴的正半轴上，则点B的横坐标是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3、已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，若点 $P$ 在第二象限，且 $∠ P F_{1} F_{2} = 120 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积是（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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4、已知点A为曲线 $y = x + \frac{4}{x} (x > 0)$ 上的动点，B为圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $|A B|$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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5、已知过原点的平面 $α$ 的一个法向量是 $\overset{⃑}{m} = (- 2, - 1, 2)$ ，点 $P (2, 2, 0)$ 是平面 $α$ 外的一点，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、1 B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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6、双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{4}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{5}{4} x$

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7、设全集 $U = \{x | x < 4, x \in N\}, A = \{0,1, 2\}, B = \{2,3\}$ ，则 $B \cup (∁_{U} A)$ 等于（）

A、 $\{3\}$ B、 $\{2 ， 3\}$ C、 $\emptyset$ D、 $\{0 ， 1 ， 2 ， 3\}$

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8、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，任何一个平面的方程都能表示成 $A x + B y + C z + D = 0$ ，其中 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D \in R$ ， $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$ ，且 $\vec{n} = (A, B, C)$ 为该平面的法向量.已知集合 $P = \{(x, y, z) || x |\leq 1,| y |\leq 1,| z ∣ \leq 1\}$ ， $Q = \{(x, y, z) || x |+| y |+| z ∣ \leq 2\}$ ， $T = \{(x, y, z) || x |+| y |\leq 2,| y |+| z |\leq 2,| z |+| x ∣ \leq 2\}$ .

(1)、设集合 $M = \{(x, y, z) ∣ z = 0\}$ ，记 $P \cap M$ 中所有点构成的图形的面积为 $S_{1}$ ， $Q \cap M$ 中所有点构成的图形的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的值；

(2)、记集合 $Q$ 中所有点构成的几何体的体积为 $V_{1}$ ， $P \cap Q$ 中所有点构成的几何体的体积为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 的值：

(3)、记集合 $T$ 中所有点构成的几何体为 $W$ .
①求 $W$ 的体积 $V_{3}$ 的值；
②求 $W$ 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出 $W$ 的面数和棱数.

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9、矩形 $A B C D$ 的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的顶点．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $P$ ， $Q$ ， $R$ 三点在以 $A C$ 为直径的圆上，且直线 $P Q$ ， $P R$ 均与 $E$ 有且只有一个公共点，证明： $△ P Q R$ 是直角三角形．

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} - ln (x + m)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $m \leq 2$ 时，求证： $f (x) > 0$ .

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11、设 $f (α) = \sin^{x} α + \cos^{x} α, x \in \{n| n = 2 k, k \in N_{+}\}$ ，当 $x = 4$ 时， $f (α)$ 的取值范围是；当x取一般值时 $f (α)$ 的取值范围是．

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12、如图，已知定点 $B (1, - \sqrt{3})$ ， $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $M$ 是线段 $O B$ 上任意一点， $M D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $M E ⊥ B C$ 于点 $E$ ． $O E$ 与 $M D$ 相交于点 $P$ ，则 $P$ 的轨迹方程为．

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13、如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 $t s$ 时相对于平衡位置的高度 $h ($ 单位： $cm)$ 由关系式 $h = 2 sin (t + \frac{π}{4})$ 确定以 $t$ 为横坐标， $h$ 为纵坐标，下列说法正确的是（）

A、小球在开始振动 $($ 即 $t = 0)$ 时的位置在 $(0, \sqrt{2})$ B、小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 $2$ $cm$ C、小球往复运动一次所需时间为 $2 πs$ D、每秒钟小球能往复振动 $\frac{1}{π}$ 次

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14、小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（）同学不用上台表演.

A、小吴：平均数为 $3$ ，中位数为 $2$ B、小温：中位数为 $3$ ，众数为 $2$ C、小蔡：平均数为 $2$ ，方差为 $2.4$ D、小龙：中位数为 $3$ ，方差为 $2.8$

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15、今天是星期四，再过 $10^{100}$ 天是星期几（）

A、星期天 B、星期一 C、星期二 D、星期三

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16、已知 $A (- 2, - 2), B (- 2, 6), C (4, - 2)$ 三点，点P在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，则 $| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2}$ 的最大值是（）

A、144 B、88 C、72 D、32

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17、已知数列A： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{8}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{8} = 12$ ，设 $m = a_{k + 1} - a_{k} (1 \leq k \leq 7, k \in N^{*})$ ，若 $m = 1$ 或2，则满足条件的不同数列的个数为（）

A、7 B、21 C、35 D、70

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x}, & x \leq 0 \\ \frac{x}{1 + i}, & x > 0 \end{matrix}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、 $\frac{1}{4} - \frac{1}{4} i$ B、 $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n + 4$ ，则数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 的公比是（）

A、2 B、6 C、8 D、16

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20、已知 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，对任意的 $x \in R$ ，恒有 $f (2 - x) + f (x) = {(x - 1)}^{2}$ 成立，且 $y = f (x)$ 在 $(- \infty, 1]$ 上单调递增.

(1)、求 $f (- 1) + f (0) + f (1) + f (2) + f (3)$ 的值；

(2)、若 $f (2 - a) \geq f (a)$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $x \in [1, + \infty)$ 时，若 $g (x) = 2 f (x) - x^{2} + 2 x$ ，求 $g (x)$ 的最小值.

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