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相关试卷

1、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相同的焦点 $F_{1} ､ F_{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线 $C_{2}$ 的离心率为 $e_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的第一象限的交点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{e_{1} e_{2}}{e_{1} + e_{2}}$ 的取值范围是.

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2、设点 $A (- 2, 0), B (0, a)$ ，直线 $A B$ 关于直线 $y = a$ 的对称直线为 $l$ ，已知 $l$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 有公共点，则 $a$ 的取值范围为．

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3、向量 $\vec{a} = (x, 1, 1), \vec{b} = (1, y, 1), \vec{c} = (2, - 4, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}, \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $|3 \vec{a} - \vec{b}| =$ ．

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4、清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若 $A B = 2$ ，则给出的说法中正确的是（）

A、该几何体的表面积为 $18 \sqrt{3}$ B、该几何体的体积为4 C、二面角 $B - E F - H$ 的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ D、若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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5、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，长轴长为6， $F, F^{'}$ 分别是椭圆的左、右焦点， $A (1, 1)$ 是一个定点， $P$ 是椭圆 $E$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、焦距为4 B、椭圆 $E$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ C、 $|A F^{'}| = \sqrt{2}$ D、 $|P A| + |P F|$ 的最大值为 $6 + \sqrt{2}$

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6、数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与 $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 相关的代数问题，可以转化为点 $A (x, y)$ 与点 $B (a, b)$ 之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 10} + \sqrt{x^{2} - 6 x + 10}$ ，下列结论正确的是（）

A、方程 $f (x) = 8$ 有两个解 B、方程 $f (x) = 8$ 无解 C、 $f (x)$ 的最小值为 $2 \sqrt{7}$ D、 $f (x)$ 的最大值为 $6 \sqrt{7}$

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7、19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ ．若圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - m)}^{2} = 16$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 $m$ 的值为（）

A、 $\pm 3$ B、 $\pm 4$ C、 $\pm 5$ D、 $\pm 3 \sqrt{3}$

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8、下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角是钝角 B、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 也是空间的一个基底 C、直线 $l$ 经过点 $A (2, 3, 1), B (0, 1, 0)$ ，则 $P (\frac{3}{2}, 3, 2)$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (0, 1, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{n} = (1, - 1, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$

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9、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{5} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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10、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $N$ 在 $\vec{O A}$ 上，且 $O N = N A$ ，点 $M$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{N M} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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11、过点 $(1, 2)$ 且垂直于直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 的直线方程为（）

A、 $2 x + y - 4 = 0$ B、 $2 x - y + 4 = 0$ C、 $2 x + y - 8 = 0$ D、 $x - 2 y + 4 = 0$

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12、已知直线过点 $A (1, 0), B (0, \sqrt{3})$ ，则直线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点到两焦点的距离之和为 $2 \sqrt{2}$ ，且其离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）如图，已知 $A$ 、 $B$ 是椭圆 $C$ 上的两点，且满足 ${|O A|}^{2} + {|O B|}^{2} = 3$ ，求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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14、在平面直角坐标系中， $N (1, 0)$ ， $M (4, 0)$ ，动点 $Q$ 满足 $\frac{|Q M|}{|Q N|} = 2$ ，设动点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $x - y + 1 = 0$ 与曲线 $C$ 交于A，B两点，求 $|A B|$ ；

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15、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $P D$ 的中点，若 $P A = A D = 2$ ， $C D = 4$ .

(1)、求证： $A F //$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求直线 $F C$ 与平面 $P C E$ 所成角的正弦值.

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16、已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (- 5, 0)$ ， $B (3, - 3)$ ， $C (0, 2)$ ，求：

(1)、边 $A C$ 所在直线的方程；

(2)、过点 $B$ 且与直线 $A C$ 平行的直线方程；

(3)、过点 $B$ 且与直线 $A C$ 垂直的直线方程.

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17、两条平行线 $l_{1} : 3 x + 4 y - 7 = 0$ 和 $l_{2} : 3 x + 4 y - 12 = 0$ 的距离为.

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18、给出以下命题，其中正确的是（）

A、直线l的方向向量为 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ，直线m的方向向量为 $\vec{b} = (2, 1, - \frac{1}{2})$ ，则l与m垂直 B、直线l的方向向量为 $\vec{a} = (0, 1, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (1, - 1, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、平面 $α 、 β$ 的法向量分别为 $\vec{n_{1}} = (0, 1, 3), \vec{n_{2}} = (1, 0, 2)$ ，则 $α // β$ D、平面 $α$ 经过三个点 $A (1, 0, - 1), B (0, - 1, 0), C (- 1, 2, 0)$ ，向量 $\vec{n} = (1, u, t)$ 是平面 $α$ 的法向量，则 $u + t = \frac{5}{3}$

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长为10 B、椭圆 $C$ 的一个顶点为 $(0, 5)$ C、椭圆 $C$ 的焦距为8 D、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{4}{5}$

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20、下列说法中，错误的是（）

A、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B、点 $(0, 2)$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称点为 $(1, 1)$ C、直线 $x - a y - 2 = 0$ 经过定点 $(2, 0)$ D、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程只有 $x + y - 2 = 0$

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