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相关试卷

1、已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = 2^{n - 1} - 1$ ， $n \geq 1$ 且 $n \in N$ ．若 $f (x) = (\sin x + a_{1}) (\sin x + a_{2}) \dots$ $(\sin x + a_{5})$ ，则 $f^{'} (π) =$ ．

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2、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 3, ∠ B A C = 60 °$ ．若点 $O$ 为 $△ A B C$ 外接圆的圆心，则 $\vec{B C} \cdot \vec{B O} =$ ．

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3、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - x + a = 0$ 有两个不相等的正根 $m$ 、 $n$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{9}{n}$ 的最小值为．

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4、若甲乙丙丁四人组成接力队参加 $4 \times 100$ 米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有种．

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5、已知随机变量 $X$ 的分布为 $(\begin{array}{l} 1 2 3 \\ 0.4 0.2 a \end{array})$ ，则期望 $E [X] =$ ．

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6、已知等差数列 $- 3$ ， $- 1$ ， 1，…，则该数列的第20项为．

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7、已知角 $α$ 为第四象限角，且 $\sin α = - \frac{4}{5}$ ，则 $\cos α =$ ．

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8、设 $α : 1 \leq x \leq 4 ， β : x \leq m ，$ 若 $α$ 是 $β$ 的充分条件，则实数 $m$ 的取值范围是.

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9、将 $\sqrt{a \sqrt{a}} (a > 0)$ 化成有理数指数幂的形式为．

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10、已知复数 $z = (m + 2) + (m - 1) i$ （ $i$ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 $m =$ ．

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11、不等式 $|x - 1| < 1$ 的解集为．

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12、已知函数 $f (x) = a (\frac{1}{x^{2}} - 1) + \frac{ln x}{x}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，函数 $g (x) = x^{2} f (x)$ 的两个极值点分别为 $m$ ， $n (m < n)$ .
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $g (\frac{m + n}{2}) > f (x_{1} x_{2} x_{3})$ .

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13、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > \frac{\sqrt{6}}{2} b > 0)$ 的离心率是椭圆 $C_{2} : \frac{3 x^{2}}{4 a^{2}} + \frac{y^{2}}{2 b^{2}} = 1$ 的离心率的 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 倍， $C_{1}$ 的短轴长比 $C_{2}$ 的长轴长小2.

(1)、分别求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的方程；

(2)、直线 $l_{1} : y = k x + m (m \neq 0)$ 与 $C_{2}$ 交于 $E$ ， $F$ 两点，与 $C_{1}$ 相切于点 $P$ .
（i）若 $P$ 为 $E F$ 的中点，求 $l_{1}$ 的方程；
（ii）直线 $l_{2}$ 过 $P$ 交 $C_{2}$ 于 $M$ ， $N$ 两点， $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，证明： $|E F| < \sqrt{2} |M N|$ .

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $A C ⊥ P D$ ， $P B = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $P D = 2$ ．

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值；

(3)、四棱锥 $P - A B C D$ 的所有顶点都在同一球面上，求该球的体积．

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15、甲、乙两队进行排球比赛，比赛采用五局三胜制.在一局比赛中，若甲队胜，则甲队下一局胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ；若甲队输，则甲队下一局胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，已知第一局甲队胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每局比赛的结果相互独立，且没有平局.

(1)、求甲队第2局获胜的概率；

(2)、求比赛不超过4局且甲队获胜的概率.

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = - \frac{1}{3} a b$ ， $c = \frac{2 \sqrt{3}}{3} b$ .

(1)、求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $A B$ 边上的高为 $2 \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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17、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，平面 $α$ 经过直线 $B F$ 且平行于直线 $A_{1} E$ ，则点 $D$ 到平面 $α$ 的距离为.

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18、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $2 a_{3} + S_{5} = 56$ ， $2 S_{11} - 7 a_{6} = 30$ ，则 $S_{n}$ 的最大值为.

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19、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (1, 8)$ ， $2 \vec{a} - 5 \vec{b} = (- 5, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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20、已知 $f (x + 2)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x) = (|x - 2| + 1) f (x - 1)$ ， $g (2) = 1$ ，若 $g (x + 2)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (3) = 1$ B、 $g (24) = - 23$ C、 $\sum_{i = 1}^{2026} f (i) = 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{2026} g (i) = 2013$

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