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相关试卷

1、某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益 $f (x)$ 与投资额 $x$ 成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益 $g (x)$ 与投资额 $x$ 的算术平方根成正比，其关系如图2．

(1)、分别写出两种产品的年收益 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的函数关系式；

(2)、该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？

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2、已知 $f (x) = (\frac{1}{a + 2}) x^{a + \frac{1}{2}}$ 是幂函数.

(1)、用定义法证明： $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数；

(2)、若 $f (1 - m) > f (3 m - 2)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $(0, + \infty)$ ，且 $\forall x, y \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0, f (2) = - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (1024) = - 10$ C、函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数 D、 $f (\frac{1}{2025}) + f (\frac{1}{2024}) + f (\frac{1}{2023}) + \dots + f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f (2) + f (3) + \dots + f (2023) + f (2024)$ $+ f (2025) = 2025$

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4、下列说法正确的是（）

A、一个真命题的否定一定是假命题 B、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件，则 $B \subseteq A$ C、如果 $a b > 0$ ，那么“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”是“ $a > b$ ”的充分不必要条件 D、已知 $A, B$ 是全集 $U$ 的子集，则“ $A \cup (∁_{U} B) = U$ ”是“ $B \subseteq A$ ”的充要条件

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5、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x + 3 < 0$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 4]$ 上有解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2 \sqrt{3})$ B、 $(2 \sqrt{3}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{9}{2})$ D、 $(\frac{9}{2}, + \infty)$

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6、已知函数 $f (x) = \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ ，则函数 $g (x) = f (2 x) + f (1 - x)$ 的定义域为（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, 2)$ D、 $(- 1, 1)$

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7、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 4, |x| \leq 2 \\ \frac{1}{1 + 2 x}, |x| > 2 \end{array}$ ，则 $f [f (1)] =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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8、命题“ $\exists x \in R$ ， $- 2 \leq f (x) < 3$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $f (x) < - 2$ 或 $f (x) \geq 3$ B、 $\forall x \in R$ ， $- 2 \leq f (x) < 3$ C、 $\forall x \in R$ ， $f (x) < - 2$ 或 $f (x) \geq 3$ D、 $\exists x \in R$ ， $- 2 < f (x) \leq 3$

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9、给定函数 $f (x)$ ，若实数 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的不动点，若实数 $x_{0}$ 使得 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点.

(1)、求函数 $g (x) = \frac{2 x + 6}{x + 1}$ 的不动点：

(2)、设 $f (x) = x^{2} + a x - a$ ， $a \in R$ ，且 $f (x)$ 恰好有两个稳定点 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ .
（i）求实数 $a$ 的取值范围，
（ii） $\forall x \in [x_{1}, x_{2}]$ ， $2 x_{1} \leq f (f (x)) \leq 2 x_{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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10、已知正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 6$ ．

(1)、求 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值及此时 $x, y$ 的值；

(2)、求 $(x - 1) (y - 2)$ 的最大值及此时 $x, y$ 的值；

(3)、求 $x + \frac{4}{7 - y}$ 的最小值及此时 $x, y$ 的值．

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11、已知幂函数 $f (x) = x^{3 m - 9} (m \in N^{*})$ 的图像关于 $y$ 轴对称，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则关于 $a$ 的不等式 ${(a + 1)}^{- \frac{m}{3}} < {(3 a - 2)}^{- \frac{m}{3}}$ 的实数 $a$ 取值范围为．

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12、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{2} - 3 x + 2}$ 的定义域是．

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13、函数 $f (x) = x^{2} - 4 | x | + 3$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty, - 2)$ B、 $(- \infty, - 2)$ 和 $(0, 2)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(- 2, 0)$ 和 $(2, + \infty)$

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14、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 3 x + 2 = 0\}$ ， $B = \{x | a x - 2 = 0\}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则实数 $a =$ （）．

A、0或1或2 B、1或2 C、0或1 D、1

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15、定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，三个内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin C = \frac{2 S}{c^{2} - b^{2}}$ .

(1)、证明： $△ A B C$ 是倍角三角形；

(2)、若 $c = 9$ ，当 $S$ 取最大值时，求 $tan B$ .

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16、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是线段 $O D$ 的中点， $A E$ 的延长线与 $C D$ 交于点 $F$ ，若 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{B D} = \vec{b}$ ，且 $\vec{A F} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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17、函数 $y = f (x)$ 的导函数记为 $f^{'} (x)$ ，若对函数 $y = f (x)$ 的定义域 $D$ 内任意实数 $x$ ，存在实数 $t$ ，使得不等式 $f (x + t) \geq (t + 1) \cdot f^{'} (x)$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 为 $D$ 上的＂ $M (t)$ 函数＂．

(1)、判断函数 $f (x) = sin x$ 是否是 $[0, π]$ 上的“ $M (\frac{π}{2})$ 函数”，请说明理由；

(2)、若函数 $h (x) = e^{x} + m x$ 是 $(1, + \infty)$ 上的“ $M (1)$ 函数”，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $g (x) = x^{2} - a x$ 是 $[0, 2]$ 上的“ $M (2)$ 函数”．若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [1, 2]$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{ln x_{1} - ln x_{2}} > p$ 成立，求实数 $p$ 的最大值．

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18、设函数 $f (x) = cos x cos (x - \frac{π}{6}) + \sqrt{3} {sin}^{2} x - \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ．

(1)、当 $x \in [\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值并求出对应的 $x$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = \sqrt{3}$ ，且 $f (\frac{A}{2} + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{1 - m}{2^{x}} (m \in R)$ 是定义在R上的增函数，图象关于原点中心对称．

(1)、求m的值；

(2)、若 $x \in [\frac{3}{2}, 4] ，$ 使得不等式 $f (- x^{2} - 3) + f (k x - x^{2}) \geq 0$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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20、已知上、下底面半径分别为1，2的圆台的体积为 $7 π$ ，则该圆台外接球的体积为．

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