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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $n a_{n} = S_{n} + 3 n (n - 1)$ ，且 $a_{1} = 1$ ．

(1)、求数列 $\{S_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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2、已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记 $X$ 为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则 $X$ 的数学期望 $E (X) =$ ．

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3、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = f (2 + x)$ ，当 $x \in (- \infty, 1]$ 时， $f (x) = e^{2 x} - e^{- x}$ ，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为．

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4、已知锐角 $α$ 满足 $tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $sin (α + \frac{π}{4})$ 的值为．

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $1 \leq |P F_{1}| \leq 5$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ B、若 $b = 2$ ， $\vec{F_{1} P} \cdot \vec{F_{2} P} = 0$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为2 C、若 $a = 5$ ， $b = 3$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若 $∠ P F_{1} F_{2} = 15 °$ ， $∠ P F_{2} F_{1} = 105 °$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6、如图，已知正四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面边长为2，高为1，则下列说法正确的是（）

A、直线 $P A$ 与直线 $C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、直线 $P A$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、该正四棱锥的外接球的表面积为 $9 π$ D、若平面 $P B C$ 与平面 $P A C$ 所成的角为 $α$ ，平面 $P B C$ 与平面 $P B D$ 所成的角为 $β$ ，则 ${sin}^{2} α + {sin}^{2} β = 1$

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7、某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有 $A$ ， $B$ 两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对 $A$ 类问题的概率为 $\frac{1}{3}$ ，答对 $B$ 类问题的概率为 $\frac{1}{2}$ ，甲同学回答 $A$ 类问题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（）

A、甲同学在第一轮答对试题的概率为 $\frac{3}{8}$ B、甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为 $\frac{1}{3}$ C、甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为 $\frac{225}{512}$ D、甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线C的左、右两支分别交于 $A, B$ 两点，且满足 $|F_{1} B| = 3 |F_{1} A|$ ， $l ⊥ O A$ （ $O$ 为坐标原点）， $∠ F_{1} B F_{2} = 60 °$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{7}$ D、3

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9、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，若 $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x) = \sqrt{2}$ 的解，且满足 ${|x_{1} - x_{2}|}_{min} = \frac{π}{4}$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, θ)$ 上恰有2个零点，则实数 $θ$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{5 π}{6}, \frac{11 π}{6})$ B、 $(\frac{11 π}{6}, \frac{17 π}{6}]$ C、 $[\frac{5 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ D、 $(\frac{11 π}{12}, \frac{17 π}{12}]$

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10、已知实数 $x > \frac{1}{2}$ ， $y > 1$ ，且满足 $2 x y - 2 x - y - 3 = 0$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, m)$ ，若 $\vec{b} - \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、已知复数 $z = 2 + i$ ，复数 $\bar{z}$ 为复数 $z$ 的共轭复数，则 $|\frac{z}{\bar{z}}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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13、已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{x - 1}\}$ ， $B = \{x |0 < x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $[1, 2)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(0, 1]$

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14、已知函数 $f (x) = \frac{2 sin x}{x} + 1$ ．

(1)、判断函数 $f (x) = \frac{2 sin x}{x} + 1$ 在区间 $(0, 3 π)$ 上极值点的个数，并说明理由；

(2)、将函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的极值点从小到大排列，形成数列 $\{x_{n}\}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n} = f (x_{n})$ ．
证明：（ⅰ） $a_{1} + a_{2} < 2$ ；
（ⅱ） $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} < n, n \in N^{*}$ ．

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15、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $△ P A B$ 为锐角三角形， $P A = A B = 2$ ， $P B + B C = 4$ ， $∠ P B C = 90 °$ ， $E$ 为棱 $P C$ 的中点，平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，直线 $B E$ 与 $l$ 相交于点 $Q$ ．

(1)、求线段 $B Q$ 长度的最小值；

(2)、若异面直线 $P B$ 与 $Q D$ 所成角为 $60 °$ ．
（ⅰ）求平面 $P C D$ 与平面 $Q C D$ 夹角的余弦值；
（ⅱ）求三棱锥 $P - A D E$ 的外接球的表面积．

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16、某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为 $3 : 1 : 2$ ．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码 $k (k = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 6)$ ，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场．

(1)、求面试号码为3的学生来自A校的概率；

(2)、记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望；

(3)、求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率．

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，点M在C上， $M F_{2} ⊥ x$ 轴，且 $|M F_{2}| = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、过点 $P (4, 0)$ 的直线交C于不同的两点A、B， $A H ⊥ M F_{2}$ 于点H，证明：直线HB过定点．

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18、已知 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，满足 $a sin B + \sqrt{3} b cos A = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、设点D为 $B C$ 上一点， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，且 $b = 3$ 、 $c = 6$ ，求 $A D$ 的长度．

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19、已知在圆锥 $P O$ 中，高 $P O$ 长为 $2$ ，底面圆的直径 $A B$ 长为 $8$ ，点 $M$ 为母线 $P B$ 的中点．过点 $M$ 用平行于母线 $P A$ 的平面去截圆锥，得到的截口曲线是抛物线，则该抛物线的焦点到点 $M$ 的距离为．

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20、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 20$ ， $a_{1} + a_{2} = 4$ ，则 $S_{6} =$ ．

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