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1、2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形 $A B C D$ 各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形 $E F G H$ ，然后再取正方形 $E F G H$ 各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形 $M N P Q$ ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形 $A B C D$ 边长为 $a_{1}$ ，后续各正方形边长依次为 $a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$ ；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为 $b_{1}$ ，后续各直角三角形面积依次为 $b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n}, \dots$ ，若 $a_{1} = 8$ ，下列说法中正确的个数是（）
$①$ $a_{3} = 5;$
$②$ $b_{3} = \frac{75}{32};$
$③$ $\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} b_{i} = 16;$
$④$ $a_{n} \cdot b_{n}$ 是公比为 $\frac{5}{8}$ 的等比数列.

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、对于函数 $f (x)$ ，若存在区间 $A = [m, n]$ 使得 ${y | y = f (x), x \in A} = A$ 则称函数 $f (x)$ 为“同域函数”，区间A为函数 $f (x)$ 的一个“同城区间”.给出下列四个函数：
① $f (x) = \cos \frac{π}{2} x$ ；② $f (x) = x^{2} - 1$ ；③ $f (x) = | x^{2} - 1 |$ ；④ $f (x) = \log_{2} (x - 1)$ .
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是

A、①②③ B、①② C、②③ D、①②④

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3、已知函数 $f (x) = \frac{2}{π} \sin π x - f^{'} (1) x + 2$ ，则 $f (2) =$ （）

A、 $\frac{2}{π} + 2$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $0$

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4、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |3^{x} - 1|, x \leq 2 \\ x^{2} - 10 x + 24, x > 2 \end{array}$ ，函数 $g (x) = 3 f^{2} (x) - (m + 3) f (x) + m$ 有6个零点，则非零实数m的取值范围是（）

A、 $(2, 16)$ B、 $[2, 16)$ C、 $(3, 24)$ D、 $[3, 24)$

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $\vec{A D} = λ \vec{A C}$ ， $λ \in (0, 1)$ ，将点A沿BD折起到点P的位置，点E为PC的中点，点G为 $△ B C D$ 的重心．

(1)、求证：EG不平行于平面PBD；

(2)、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，平面 $P B D ⊥$ 平面BCD，求二面角B-PC-D的正弦值．

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6、欧拉函数 $φ (n)$ (n∈ $N^{*}$ )的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如： $φ (1) = 1$ ， $φ (3) = 2$ ， $φ (4) = 2$ ， $φ (5) = 4$ ，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的因数 1 和2，3 的因数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的.

(1)、求 $φ (3^{2})$ ， $φ (3^{3})$ ；

(2)、猜测 $φ (3^{n})$ 的值（不要求证明）；

(3)、令 $a_{n} = \frac{3}{2} φ (3^{n})$ ，求数列 $\{\frac{\log_{3} a_{n}}{a_{n}}\}$ 的前n项和．

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7、已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上异于左右顶点的一点，设 $∠ P F_{1} F_{2} = α, ∠ P F_{2} F_{1} = β, ∠ F_{2} P F_{1} = γ$ ，则 $\cos α + \cos β + \cos γ$ 的取值范围为

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8、已知圆 $C : x^{2} - 2 x + y^{2} - 3 = 0$ ，过点 $T (2, 0)$ 的直线l交圆C于A，B两点，点P在圆C上，若 $C P ∥ A B$ ， $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \frac{1}{2}$ ，则 $|A B| =$

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9、已知锐角 $α$ 满足 $sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4}) =$ .

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10、在直角坐标系 $x O y$ 中， $T (m, n)$ 是曲线 $C : x^{2} = 2 x y + 2$ 上任意一点，则下列说法正确的是（）

A、曲线C关于原点对称 B、任意 $k \geq \frac{1}{2}$ ，直线 $y = k x$ 与曲线C都没有公共点 C、O为坐标原点， $|O T| \geq \sqrt{2}$ D、曲线的离心率 $e = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - a_{n} + 1$ .记 $A_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}}$ ， $B_{n} = \frac{1}{a_{1}} \cdot \frac{1}{a_{2}} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1}{a_{n}}$ 则正确的结论是（）

A、 $a_{n} > 0$ B、 $a_{n + 1} > a_{n}$ C、 $A_{2025} - B_{2025} > \frac{1}{2}$ D、 $A_{2025} - B_{2025} < \frac{1}{2}$

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12、已知 $△ A B C$ 面积为1，边 $A C$ 上的中线为 $B D$ ，边 $A B$ 上的中线为 $C E$ ，且 $B D = \frac{4}{3} C E$ ，则边 $A C$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{11}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1}$ ，对于任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 2} - a_{n} = 1$ ，则“ $\{a_{n}\}$ 为单调递增的数列”是“ $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形， $A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 120^{0}$ ，则线段 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、2 D、 $\sqrt{3}$

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15、将 $2 N$ 项数列 $(a_{1}, a_{2} \dots, a_{N}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{N})$ 重新排序为 $(b_{1}, a_{1}, b_{2}, a_{2}, \dots, b_{N}, a_{N})$ 的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以 $b_{1}$ 为首项，将 $a_{i}$ 排在 $b_{i}$ 之后，将 $b_{i + 1}$ 排在 $a_{i}$ 之后．例如，当 $N = 3$ 时，数列 $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 经过一次“洗牌”后变为 $(4, 1, 5, 2, 3, 6)$ ．则数列 $(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)$ 经过3次“洗牌”后得到的新数列是（）

A、8，7，6，5，4，3，2，1 B、1，2，3，4，5，6，7，8 C、2，4，6，8，1，3，5，7 D、1，3，5，7，2，4，6，8

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16、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 cm$ ，取正方形 $A B C D$ 各边的中点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，作第2个正方形 $E F G H$ ，然后再取正方形 $E F G H$ 各边的中点 $I$ ， $J$ ， $K$ ， $L$ ，作第3个正方形 $I J K L$ ，依此方法一直继续下去.则所有的正方形面积和将趋近于（）

A、 $32$ B、8 C、 $16$ D、以上A，B，C都不正确

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17、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ），焦点为 $F$ ，对于抛物线上一点 $P$ ，记 $|P F| = d$ ，已知 $d$ 的最小值为1，将点 $P$ 向上平移 $d$ 个单位长度，得到点 $A$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若 $O$ 为坐标原点，直线 $P F$ 与 $C$ 的另一个交点为 $Q$ ，设直线 $O P, O Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(3)、记点 $A$ 到直线 $l : x + y = 0$ 的距离为 $r$ ，证明：以 $A$ 为圆心， $r$ 为半径的圆始终经过定点.

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{2}{3}, a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{1 + a_{n}}, \{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、证明： $\{\frac{1}{a_{n}} - 1\}$ 为等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、记 $b_{n} = \frac{(1 - a_{n}) n}{a_{n}}, \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .
（i）求 $T_{n}$ ；
（ii）若存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $n (S_{n} - 4) + 4 - T_{n} - λ^{2} \cdot cos (n π) \leq 0$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{2}{3}$ ，求 $|A B|$ .

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20、如图多面体中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $A B / / C D / / E F$ ， $C D = E F = 1, A B = A D = A F = 2, ∠ B A D = ∠ B A F = \frac{π}{2}$ ，且 $M$ 为棱 $B E$ 中点.

(1)、证明： $A B ⊥ C E$ ；

(2)、求直线 $A M$ 与平面 $C E B$ 所成角的正弦值；

(3)、求三棱锥 $F - A C D$ 的外接球半径.

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