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相关试卷

1、如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ ，用 $X$ 表示小球落入格子的号码，则下列正确的是（）

A、 $P (X = 4) = \frac{1}{4}$ B、 $P (X = k) \leq P (X = 3)$ $(k = 1, 2, 3, 4, 5)$ C、 $E (X) = 2$ D、 $D (X) = 1$

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2、设函数 $f (x) = (x - a - b) (ln x - 1)$ ，其中 $a > 0, b > 0$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{8}{e}$ B、 $8e$ C、 $9e$ D、 $\frac{9}{e}$

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3、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ D A B = 90^{°} ， ∠ D A A_{1} = ∠ B A A_{1} = 60^{°}$ ， $A B = 1, A D = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，则棱 $A_{1} C$ 的长度是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{14}$ C、 $\sqrt{23}$ D、5

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4、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若对空间中任意一点O，有 $\vec{O P} = \frac{2}{3} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} - \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 B、若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角 C、若直线l的方向向量为 $\vec{m} = (2, 4, - 2)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 1, - 2, 1)$ ，则 $l ⊥ α$ D、若空间向量 $\vec{a} = (1,0,1), \vec{b} = (0,1, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $（ 0, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ）$

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5、随机变量 $X ~ B (2, p)$ ， $Y ~ N (2, σ^{2})$ ，若 $P (X \geq 1) = 0.36$ ， $P (1 < Y < 3) = p$ ，则 $P (Y > 3) =$ （）

A、 $0.1$ B、 $0.2$ C、 $0.3$ D、 $0.4$

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6、设样本空间 $Ω = \{1 ， 2 ， 3 ， 4\}$ ，且每个样本点是等可能的，已知事件 $A = {1, 2, 3},$ $B = {1, 3, 4},$ $C = {2, 3, 4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、事件A与B为互斥事件 B、事件 $A, B, C$ 两两独立 C、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ D、 $P (A ∣ C) = P (C ∣ A)$

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7、已知 $p : x + y > 2$ ， $x y > 1$ ； $q : x > 1$ ， $y > 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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8、下列求导正确的是（）

A、 ${(2^{x})}^{'} = \frac{2^{x}}{ln 2}$ B、 ${(cos \frac{π}{4})}^{'} = - sin \frac{π}{4}$ C、 ${(x ln x)}^{'} = ln x + 1$ D、 ${(\frac{x}{e^{x}})}^{'} = \frac{x - 1}{e^{x}}$

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9、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 2 x - 3 \leq 0\}$ ， $B = \{x \in N |2 - x \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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10、已知函数 $f (x) = \frac{a}{2} e^{2 x} - x$ ，且定义域为 $[0, + \infty), a \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有2个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x) \geq (1 - a) e^{x} + (\frac{3 a}{2} - 1) cos x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ ， $g (x) = a \ln x - x$ .

(1)、若 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在 $[1, 2]$ 单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a < 0$ 时，若对任意的 $x_{1} \in [\frac{1}{e}, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [\frac{1}{e}, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、已知 ${(x + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，第五项的二项式系数是第三项的系数的4倍，求：

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中所有的有理项.

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13、抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为 $X$ ，则随机变量X的期望是；若抛掷2024次骰子，记得分恰为 $n$ 分的概率为 $P_{n}$ ，则当 $P_{n}$ 取最大值时 $n$ 的值为.

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14、设函数 $f (x) = \sin x + e^{x} - e^{- x} - x + 3$ ，则满足 $f (x) + f (3 - 2 x) < 6$ 的x的取值范围是.

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15、已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ 的两个零点分别为 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $0 < a < \frac{1}{e}$ B、 $e < x_{1} < \frac{1}{a}$ C、 $x_{1} x_{2} > e^{2}$ D、若 $a = \frac{x_{3}}{e^{x_{3}}} (x_{3} > 1)$ ，则 $e^{x_{3}} = x_{2}$

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16、下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $X$ 的概率分布列为 $P (X = n) = a n (n = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $a = \frac{1}{10}$ B、若随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 0) = 0.4$ ，则 $P (1 \leq X \leq 2) = 0.2$ C、若随机变量 $X ~ B (10, \frac{1}{5})$ ，则 $D (X) = \frac{8}{5}$ D、在含有4件次品的10件产品中，任取3件， $X$ 表示取到的次品数，则 $P (X = 1) = \frac{1}{2}$

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17、已知 $a > 0$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = x e^{x} - a$ 与 $g (x) = - \frac{\ln x}{x} - a$ 的零点，则 $\frac{x_{1}^{2}}{x_{2} e^{a - x_{1}}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2}{e^{2}}$ B、 $\frac{4}{e^{2}}$ C、 $\frac{6}{e}$ D、 $\frac{8}{e^{2}}$

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18、袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{5}{21}$ D、 $\frac{5}{23}$

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19、高尔顿板又称豆机､梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为 $1, 2, \dots, 6$ 的球槽内.

(1)、某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入 $X$ 号球槽，该商品可立减 $Y$ 元，其中 $Y = |15 - 5 X|$ .若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数）

(2)、将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？

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20、已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - 2 x$ （ $e$ 为自然对数的底数），

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) > 3 ln a + 2 - ln 2$ .

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