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相关试卷

1、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (\sin A, \sin B), \vec{n} = (\cos B, \cos A)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = \sin 2 C$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $\sin A, \sin C, \sin B$ 成等差数列，且 $\vec{C A} \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 18$ ，求 $c$ .

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2、在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备.

(1)、第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是 $\frac{1}{2}$ ，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是 $\frac{1}{2}$ .记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”.
（ⅰ）求小王答对第一组题的概率 $P (A)$ ；
（ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率 $P (B |A)$ .

(2)、小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为 $\frac{1}{2}$ ，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为 ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）：
题号
第1题
第2题
第3题
得分
2分
4分
6分
若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率.

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3、已知 $l, m, n$ 是不同的直线， $α, β, γ$ 是不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m$ $∥$ $α ， n$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $n$ B、若 $m$ $∥$ $α ， α$ $∥$ $β$ ，则 $m$ $∥$ $β$ C、若 $m ， n$ 为异面直线且 $m \subset α ， n \subset β ， α \cap β = l$ ，则 $l$ 与 $m ， n$ 中至少一条相交 D、若 $α ⊥ β ， m ⊥ α ， m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ β$

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4、若函数 $f (x)$ 为定义域 $D$ 上单调函数，且存在区间 $[a, b] \subseteq D$ （其中 $a < b$ ），使得当 $x \in [a, b]$ 时， $f (x)$ 的取值范围恰为 $[a, b]$ ，则称函数 $f (x)$ 是D上的正函数，区间 $[a, b]$ 叫做等域区间.

(1)、是否存在实数m，使得函数 $g (x) = x^{2} + m$ 是 $(- \infty, 0)$ 上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

(2)、若 $h (x) = x^{2} + 2 m x + m$ ，且不等式 $a \leq h (x) \leq b$ 的解集恰为 $[a, b] (a, b \in Z)$ ，求函数 $h (x)$ 的解析式.并判断 $[a, b]$ 是否为函数 $h (x)$ 的等域区间.

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5、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (2 x + \frac{π}{3}) - \cos^{2} x + \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边， $f (A) = \frac{1}{4}$ ， $a = 3$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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6、 $(x + \frac{1}{x}) {(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中常数项为．

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7、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 5$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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8、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (x + 2) + f (x) = 0$ ，当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2024) = 1$ B、函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称 C、定义在 $R$ 上的函数 $g (x)$ 满足 $g (x) = - g (4 - x)$ ，若曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 恰有2025个交点 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{2025}, y_{2025})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2025} (x_{i} + y_{i}) = 4050$ D、当实数 $k \in (- \frac{\sqrt{6}}{6}, - \frac{\sqrt{5}}{10}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{10}, \frac{\sqrt{6}}{6})$ 时，关于 $x$ 的方程 $|f (x)| + f (|x|) = k x$ 恰有四个不同的实数根

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9、已知随机变量 $X$ 服从正态分布，即 $X ~ N (4, 5)$ ，则（）

A、 $E (X) = 20$ B、 $D (X) = 5$ C、 $P (X \leq 2) + P (X \leq 6) = 1$ D、 $P (X \geq 8) < P (X \leq - 1)$

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10、已知 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若 $(λ \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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11、已知复数 $z$ 满足 $5 + z i = z (1 - i)$ ，则 $|z - i| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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12、已知全集 $I = N$ ，集合 $A = \{x \in I |2 \leq x \leq 10\}$ ， $B = {x |x$ 为素数 $}$ ，则 $A \cap ∁_{I} B =$ （）

A、 $\{4, 6, 8, 10\}$ B、 $\{4, 5, 6, 8, 9\}$ C、 $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ D、 $\{4, 6, 8, 9, 10\}$

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13、把函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x + cos ω x (0 < ω < 3)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{4})$ 上单调递增 D、若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, a)$ 上存在极大值点和极小值点，则实数 $a$ 的取值范围为 $(\frac{2 π}{3}, + \infty)$

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14、已知 $f (x)$ 是定义在 $I$ 上的函数，若对任意 $x \in I$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为 $I$ 上的非负函数.

(1)、判断 $f (x) = x - e \ln x$ 是否为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，并说明理由.

(2)、已知 $n$ 为正整数， $g (x) = n x - a \ln x (a > 0)$ 为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，记 $a$ 的最大值为 $a_{n}$ ，证明： $\{a_{n}\}$ 为等差数列.

(3)、已知 $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ，函数 $h (x) = \frac{n^{x}}{x^{n}} (x > 0)$ ，若 $F (x) = h (x) - h (b_{n})$ 为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，证明： $\sum_{n = 2}^{2025} \frac{1}{b_{n}} < {(\ln 2025)}^{2}$ .

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15、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左右两顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过点 $C (1, 0)$ 作斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ 的动直线与椭圆 $E$ 相交于 $M, N$ 两点.当 $k_{1} = 1$ 时，点 $A_{1}$ 到直线 $M N$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设点 $M$ 关于原点的对称点为 $P$ ，设直线 $A_{1} P$ 与直线 $A_{2} N$ 相交于点 $Q$ ，设直线 $O Q$ 的斜率为 $k_{2}$ ，试探究 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.

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16、若关于 $x$ 的方程 $m + e \ln m = \frac{x}{e^{x}} + e (\ln x - x)$ 有解，则实数m的最大值为.

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17、一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为 $\frac{1}{5}$ ，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是.

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18、若变量 $x, y$ 满足 $\{\begin{cases} 2 x - y - 6 \leq 0 \\ x - y + 3 \geq 0 \\ x \geq 1 \end{cases}$ ，目标函数 $z = 2 a x + b y (a > 0, b > 0)$ 取得最大值 $6$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为．

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19、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M, N$ 分别为线段 $A_{1} B_{1}, C C_{1}$ 的中点， $A A_{1} = 2 B C = 2, A B = 2 \sqrt{2}$ ，平面 $A B N ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，则四面体 $A B M N$ 的外接球的体积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{10} π}{3}$ B、 $10 π$ C、 $5 \sqrt{10} π$ D、 $30 π$

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20、已知抛物线 $C : y^{2} = - 12 x$ 的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则 $\vec{F M} \cdot \vec{F N}$ 的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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题号	第1题	第2题	第3题
得分	2分	4分	6分