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相关试卷

1、设 $n$ 维向量 $\vec{a} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ， $\vec{b} = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，定义运算： $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n}$ .

(1)、当 $n = 2$ 时，若 $\vec{c} = (y_{2}, y_{1})$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ， $y_{1} < y_{2}$ ，试比较 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 与 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的大小；

(2)、已知 $n \in N^{*}$ ，记 $M (n) = {\vec{a} \cdot \vec{b} | \vec{a} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}), \vec{b} = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ 且 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 和 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 均为 $1, 2, \dots, n$ 的某一排列}.
（ⅰ）求 $M (3)$ ， $M (4)$ ；
（ⅱ）若 $n \geq 4$ ，求 $M (n)$ .（提示： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ .）

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2、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{m + 2} + y^{2} = 1 (m > 0)$ ，点 $P (0, - 1)$ 到椭圆 $E$ 上点的距离的最大值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若过定点 $(0, 2)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于点 $A$ ， $B$ ，设点 $Q (0, \frac{1}{2})$ ，直线 $A P$ 与直线 $B Q$ 交于直线 $y = \frac{5}{4}$ 上一点，求直线 $A B$ 的方程.

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3、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) + a x^{2} - x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、求证：当 $n \in N^{*}$ 时， $1 + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{3^{2}} + \dots + \frac{2 n - 1}{n^{2}} < 2 \ln (n + 1)$ .

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4、在1，2，3，…，7这7个自然数中，任取3个数.

(1)、求这3个数中恰有1个是偶数的概率；

(2)、设 $X$ 为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时 $X$ 的值是2）.求随机变量 $X$ 的分布列及其数学期望 $E (X)$ .

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5、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ . $N$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是 $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 的交点.

(1)、若 $Q$ 是 $A_{1} N$ 的中点，证明： $P Q / /$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、求 $A_{1} P$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正弦值.

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6、关于 $x$ 的方程 $e^{x} + b^{x} = 2$ （ $b > 0$ 且 $b \neq 1$ ）有唯一实数解，其中 $e$ 为自然对数的底数，则实数 $b$ 的取值范围是.

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7、在 $△ A B C$ 中， $\sin A = 8 \sin B \sin C$ ， $\cos A = 8 \cos B \cos C$ ，则 $\tan A =$ .

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8、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A D_{1} = \sqrt{2}$ ， $B C = C C_{1} = 1$ ， $C C_{1} ⊥ C D$ ， $∠ A D C = 120 °$ ， $E$ 为 $C D$ 中点， $F$ 在线段 $B C$ 上（包含端点），则下列说法正确的是（）

A、存在点 $F$ ，使得 $A_{1} F / /$ 平面 $A D_{1} E$ B、存在点 $F$ ，使得平面 $A D_{1} E ⊥$ 平面 $D_{1} E F$ C、不存在点 $F$ ，使得 $|D_{1} F| + |E F| = \sqrt{10}$ D、不存在点 $F$ ，使得四棱锥 $F - C D D_{1} C_{1}$ 有内切球

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9、国家知识产权局信息显示，华为技术有限公司申请一项名为“三进制逻辑门电路、计算电路、芯片及其电子设备”的专利，该项专利可以实现大幅度减少二进制逻辑电路的晶体管数量，降低电路的功耗，提高计算效率.该专利蕴含的数学背景是一种以3为基数，以 $- 1$ ， $0$ ， $1$ 为基本数码的计数体系（对称三进制）：三进制数 ${(a_{k} a_{k - 1} \dots a_{0} . b_{1} b_{2} \dots b_{t})}_{3}$ 对应的十进制数为 $a_{k} \cdot 3^{k} + a_{k - 1} \cdot 3^{k - 1} + \dots + a_{1} \cdot 3^{1} + a_{0} \cdot 3^{0} + b_{1} \cdot 3^{- 1}$ $+ b_{2} \cdot 3^{- 2} + \dots + b_{t} \cdot 3^{- t}$ ，其中 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k - 1}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{t} \in \{- 1, 0, 1\}$ ， $a_{k} \in \{- 1, 1\}$ ，为了记号的方便，我们用 $F$ 表示数码 $- 1$ ，比如 ${(11)}_{3} = 1 \times 3^{1} + 1 \times 3^{0} = 4$ ， ${(1. F)}_{3} = 1 \times 3^{0} + (- 1) \times 3^{- 1} = \frac{2}{3}$ ， ${(F F F)}_{3} = (- 1) \times 3^{2} + (- 1) \times 3^{1} + (- 1) \times 3^{0} = - 13$ .下面选项正确的是（）

A、 ${(10 F 1)}_{3} = 25$ B、 ${(101010)}_{3} - {(10101)}_{3} = {(F 0 F 0 F)}_{3}$ C、若 $n = {(0. b_{1} b_{2} \dots b_{m})}_{3}$ ， $b_{i} \in \{F, 0, 1\}$ ， $i = 1, 2, \dots, m, m \in N^{*}$ ，则 $|n| < \frac{1}{2}$ D、存在唯一的 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4} \in \{0, 1\}$ ，使得 ${(1 a_{4} a_{3} a_{2} a_{1})}_{3} - {(1 b_{4} b_{3} b_{2} b_{1})}_{3} = 20$ 成立

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10、下面说法正确的是（）

A、若数据 $2 x_{1}$ ， $2 x_{2}$ ， …， $2 x_{16}$ 的方差为8，则数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{16}$ 的方差为4 B、若 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C、已知 $X$ 是随机变量，则 $E (X^{2}) \geq E^{2} (X)$ D、若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 $r$ 的值越接近于1

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11、已知函数 $f (x) = (x - a) {(x - b)}^{2}$ ，其中 $a < b$ ， 5为 $f (x)$ 的极小值点.若 $f (x)$ 在 $(a, a + 3)$ 内有最大值，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4, 5)$ B、 $(- 4, 5]$ C、 $(- 4, \frac{11}{4})$ D、 $(- 4, \frac{11}{4}]$

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12、一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10cm、8cm、15cm，内部装有400毫升墨水.将墨水瓶倾斜，使其一条长边（10cm）置于水平地面，高边（15cm）所在直线与水平地面成45度角，则此时墨水与墨水瓶接触部分的面积为（）

A、180 B、220 C、260 D、300

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13、已知点 $M (a, 0)$ ， $N (2, 3)$ 到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 2, 6)$ C、 $(0, 6)$ D、 $(2, 6)$

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 1$ ，记 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $2 S_{n} = n a_{n}$ ，则 $a_{2025}$ 的值为（）

A、2023 B、2024 C、2025 D、2026

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15、设 $z = \frac{1 + i}{1 - i} - 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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16、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{a} \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 9$ ，则 $\vec{a} \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、3 B、4 C、6 D、7

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17、下列四个函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = \cos x$ B、 $y = |\sin x|$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = \sin \frac{x}{2}$

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18、已知集合 $A = \{x \in Z | x^{2} - x - 2 > 0\}$ ，则 $∁_{Z} A =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0\}$

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19、对于一个给定的数列 $\{a_{n}\}$ ，令 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 称为数列 $\{a_{n}\}$ 的一阶和数列，再令 $c_{n} = b_{n} + b_{n + 1}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列，以此类推，可得数列 $\{a_{n}\}$ 的 $p$ 阶和数列．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列是等比数列，且 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 0$ ， $a_{4} = 3$ ，求 $a_{7}$ ；

(2)、若 $a_{n} = 2 n$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列的前 $n$ 项和；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的一阶和数列，且 $3 a_{k - 1} \leq 2 b_{k - 1} (k \geq 2)$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} = 1000$ ，求正整数 $k$ 的最大值，以及 $k$ 取最大值时 $\{a_{n}\}$ 的公差．

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20、已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ ， $g (x) = \sin x - a x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = g (x)$ 在点 $(π, g (π))$ 处切线的方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的零点；

(3)、用 $max \{m, n\}$ 表示 $m$ 、 $n$ 的最大值，记 $F (x) = max \{f (x), g (x)\}$ ．问：是否存在实数 $a$ ，使得对任意 $x \in R$ ， $F (x) \geq 0$ 恒成立？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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