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1、若对于函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ ，对任意实数 $x$ ，都存在常数 $n$ ，使 $f^{'} (x) \geq n g^{'} (x)$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 是函数 $y = g (x)$ 的“ $n$ 函数”.（已知 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 定义域均为 $R$ ）.

(1)、证明：函数 $f (x) = 3 x + 1$ 是函数 $g (x) = \cos x$ 的“ $3$ 函数”；

(2)、若函数 $f (x) = - x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - 20 x$ 是函数 $g (x) = e^{x}$ 的“ $n$ 函数”，求 $n$ 的取值范围；

(3)、若函数 $p (x) = e^{x} + m e^{- x}$ ，函数 $y = q (x)$ 为偶函数，函数 $y = p (x)$ 是函数 $y = q (x)$ 的“ $1$ 函数”，求证：“ $m = 1$ ”的充要条件是“存在常数 $c$ ，使得 $p (x) - q (x) = c$ 恒成立”.

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2、在空间直角坐标系中，某质点从原点出发，每秒向 $x$ 轴、 $y$ 轴或 $z$ 轴正、负方向移动一个单位，且向六个方向移动的概率均相等.

(1)、求该质点在第 $4$ 秒末移动到点 $(2, 2, 0)$ 的概率；

(2)、设该质点在第 $2$ 秒末移动到点 $(x, y, z)$ ，记随机变量 $ξ = x + y + z$ ，求 $ξ$ 的均值；

(3)、设该质点在第 $n$ 秒末回到原点的概率为 $p_{n}$ ，证明： $p_{2 n} > {(\frac{C_{2 n}^{n}}{6^{n}})}^{2}$ .

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3、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若直线 $l$ 与 $E$ 相切于第一象限内的点 $P$ ，且与 $x$ 轴相交于点 $Q$ .

(1)、证明： $P Q$ 平分 $∠ F_{1} P F_{2}$ ；

(2)、过原点 $O$ 作 $l$ 的垂线（垂足为 $H$ ），与 $P F_{1}$ 相交于点 $T$ ，求 $△ T F_{1} H$ 面积的最大值.

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4、已知 $△ A B C$ 为锐角三角形，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $(a + b + c) (a - b + c) = 3 a c$ ， $b = 2$ .

(1)、求 $a c$ 的取值范围；

(2)、求 $△ A B C$ 的内切圆半径 $r$ 的最大值.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2^{n - 1}$ ， $n \in N^{*}$ .设 $b_{n} = \log_{\sqrt{3}} (a_{n} + 2^{n - 1}) + 1$ ，若不等式 $15 (1 + \frac{1}{b_{1}}) (1 + \frac{1}{b_{2}}) \dots (1 + \frac{1}{b_{n}}) \geq k \sqrt{10 n + 15}$ 对于任意 $n \in N^{*}$ 都成立，则正数 $k$ 的最大值为.

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6、设 $O x$ 、 $O y$ 是平面内相交成 $α (0 < α < π)$ 的两条射线， $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $O x$ 、 $O y$ 同向的单位向量，定义平面坐标系 $x O y$ 为 $α -$ 仿射坐标系，在 $α -$ 仿射坐标系中，若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则记 $\vec{O P} = (x, y)$ .已知在如图所示的 $\frac{π}{4} -$ 仿射坐标系中， $B$ 、 $C$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴正半轴上，且 $|\vec{B C}| = 2$ ，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为 $O C$ 、 $B D$ 、 $B C$ 的中点，则 $\vec{O E} \cdot \vec{O F}$ 的最大值为.

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7、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{2} a_{n}^{2}$ . 下列说法正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 每一项 $a_{n}$ 都满足 $0 < a_{n} \leq 1 (n \in N^{*})$ B、数列 ${a_{n}}$ 是递减数列 C、数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} < 2$ D、数列 ${a_{n}}$ 每一项都满足 $a_{n} \leq \frac{2}{n + 1}$ 成立

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8、已知点 $A (0, 2)$ ，若圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - a + 4)}^{2} = 1$ 上存在点 $P$ ，使得 $|P O |^{2} +| P A |^{2} = 34 (O$ 为坐标原点 $)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0]\cup[5, + \infty)$ B、 $[0, 5]$ C、 $[- \frac{\sqrt{41} + 3}{2}, - 3]\cup[0, \frac{\sqrt{41} - 3}{2}]$ D、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{41} + 3}{2}]\cup[\frac{\sqrt{41} - 3}{2}, + \infty)$

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9、已知函数 $y = f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，则 $(a, b)$ 内至少存在一个点 $x_{0} \in (a, b)$ ，使得 $f (b) - f (a) = f^{'} (x_{0}) (b - a)$ ，其中 $x = x_{0}$ 称为函数 $y = f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的“中值点”.则函数 $f (x) = x^{3} - 2 x$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的“中值点”的个数为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，若 $a = f (2^{1.1})$ ， $b = f (- 1)$ ， $c = f (\log_{2} 3)$ ，则实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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11、已知 $A (2 ， 1) ， B (\frac{2}{3} ， 0) ， C ， D$ 四点均在函数f（x）＝log₂ $\frac{a x}{x + b}$ 的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积是（）

A、 $\frac{26}{5}$ B、 $\frac{26}{3}$ C、 $\frac{52}{5}$ D、 $\frac{52}{3}$

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12、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} = b_{2}$ ， $a_{4} = b_{3}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $10$ 项和为（）

A、 $1078$ B、 $1077$ C、 $567$ D、 $550$

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13、已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 $(a^{2} - b^{2} - c^{2}) \sin C \cos C = b c$ $\cos (B + C)$ ， $a = \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 周长的取值范围为（）

A、 $(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 2)$ B、 $(2 + \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 2)$ C、 $(2 + \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 1)$ D、 $(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 1)$

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14、已知 $α ， β \in (\frac{3 π}{4}, π)$ ， $sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ， $\sin (β - \frac{π}{4}) = \frac{12}{13}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{56}{65}$ B、 $- \frac{33}{65}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $\frac{33}{65}$

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15、在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为 $α = 60 °$ ， $β = 45 °$ ， $γ = 30 °$ ，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知 $B C = 5 \sqrt{2}$ ， $A D = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ， $E B = \sqrt{2}$ ，则隧道DE的长度为（）

A、 $5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{6}$ C、10 D、 $4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$

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16、复数 $z = \frac{5}{- 1 + 2 i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（）

A、 $C_{5}^{4}$ B、 $A_{5}^{4}$ C、 $5^{4}$ D、 $4^{5}$

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18、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1 (x \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{B}{2}) = \sqrt{3}$ ，角B为锐角，点D为线段BC延长线上一点， $A B = 3 \sqrt{3}$ ， $C D = 5$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，求AD的长．

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19、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a \cos B = (2 c - b) \cos A$ .
（1）求A；
（2）已知 $b = 3$ ，若 $\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C} = 2 \overset{⃑}{A M}$ 且 $|\overset{⃑}{A M}| = \frac{\sqrt{13}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20、已知复数 $z = \frac{5}{1 + 2 i} + 1 + i$ ， $i$ 为虚数单位．

(1)、求 $\bar{z}$ ；

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，求实数 $m, n$ 的值；

(3)、若复数 $z_{1}$ 满足 $|z_{1} - 1| = 2$ ，求 $|z_{1} - z|$ 的最值．

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