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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\forall x, y \in R$ ， $f (x) f (y) = f (x + y)$ ，且 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = 2$ C、 $f (x + 1) < f (x)$ D、 $f (x + 2) - f (x + 1) < f (x + 1) - f (x)$

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2、某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面 $A F R ⊥$ 平面ABC，平面 $C D T ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ B C, A B ∥ E F ∥ R S ∥ C D, B C ∥ D E ∥ S T ∥ A F$ ．若 $A B = B C = 8, A F = C D = 4, R A = R F = T C = T D = \frac{5}{2}$ ，则该多面体的体积为（）

A、40 B、50 C、60 D、70

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3、在 $△ A B C$ 中，三边长 $a, b, c$ 满足 $a + c = 3 b$ ，则 $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4、已知函数 $f (x) = cos2 x - cos x$ ，则 $f (x)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上的所有零点之和为（）

A、 $π$ B、 $2π$ C、 $3π$ D、 $4π$

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5、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 3$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6、从2，4，8，16中任取两个数，分别记作a，b，则使 $\log_{a} b$ 为整数的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 3, A D = 1, A B = \sqrt{2}$ ，则异面直线 $D B_{1}$ 与 $A A_{1}$ 所成角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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8、已知集合 $A = {x| 3 \leq x < 10}$ ， $B = {x| 2 < x \leq 7}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[3, 7]$ B、 $(2, 10)$ C、 $(2, 3]$ D、 $[7, 10)$

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9、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，且经过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ 的左右焦点，过双曲线 $C$ 上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作双曲线的切线 $l$ （ $l$ 的方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ）交 $y$ 轴于点 $Q$ ；
（ⅰ）证明： $F_{1}, F_{2}, P, Q$ 四点共圆；
（ⅱ）当 $x_{0} > 0$ 时，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线与 $∠ P F_{1} F_{2}$ 的角平分线交于点 $M$ ，求点 $M$ 的轨迹方程．

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10、若无穷正项数列 $\{a_{n}\}$ 同时满足以下两个性质：①存在 $M > 0$ ，使得 $a_{n} < M, n \in N^{*}$ ；② $\{a_{n}\}$ 为单调数列，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $Q$ ．

(1)、若 $a_{n} = 2 n - 1, b_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ ；
（ⅰ）判断数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 是否具有性质 $Q$ ，并说明理由；
（ⅱ）记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，判断数列 $\{S_{n}\}$ 是否具有性质 $Q$ ，并说明理由；

(2)、某同学投篮命中率为 $\frac{1}{4}$ ，每次投篮相互独立，设随机变量 $X$ 为投篮 $2 n$ 次命中的次数，记 $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} P (X = 2 k - 1)$ ，证明：数列 $\{c_{n}\}$ 具有性质 $Q$ ．

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11、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2, A D = 1, ∠ D A B = 60 °, E$ 为 $A B$ 中点，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折至 $△ A_{1} D E$ ．设 $M$ 是线段 $A_{1} C$ 的中点， $C E ⊥ A_{1} E$ ．

(1)、证明： $C E ⊥$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(2)、求三棱锥 $A_{1} - D E C$ 的体积；

(3)、求直线 $B M$ 与平面 $A_{1} D C$ 所成角的正弦值．

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12、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ．

(1)、求 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(3)、判断方程 $f (x) = a (a \in R)$ 的解的个数．

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13、定义：平面点集 $D$ 中的每一点 $P (x, y) (x \in R, y \in R)$ 都有唯一的实数 $f (x, y)$ 与之对应，则称 $f (x, y)$ 为 $D$ 上的二元函数．若点 $P (x, y)$ 的横、纵坐标 $x, y$ 均为整数，则称点 $(x, y)$ 为“整数点”．已知 $f (x, y) = x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} - 4 x + 6$ ，则方程 $f (x, y) = 0$ 的“整数点”为．

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14、从甲、乙、丙3人中选2人参加两项活动，有种不同的选法．

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15、如图，已知笛卡尔“鸡蛋”曲线 $C$ 过点 $F_{1} (- 1, 0)$ ，且曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 到 $F_{1}$ 和 $F_{2} (1, 0)$ 的距离满足 $|P F_{1}| + 2 |P F_{2}| = a$ ，则（）

A、 $a = 4$ B、曲线 $C$ 与单位圆有3个交点 C、 $|O P|$ 的最小值为 $\frac{3}{5}$ D、 $|O P|$ 的最大值为 $\frac{5}{3}$

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16、已知函数 $f (x) = (x - a) {(x - b)}^{2}, a, b \in R$ ，下列选项正确的有（）

A、若 $a = 2, b = - 1$ ，则函数 $f (x) + 2$ 为奇函数 B、若 $f (x)$ 有极小值0，则 $a > b$ C、若 $f (x)$ 有极大值2，则 $a < b$ D、 $f (x)$ 可能在 $x = \frac{a + b}{2}$ 处有极大值

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17、设样本数据 $S_{1} : x_{1}, x_{2}, x_{3}; S_{2} : \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{x_{1} + x_{3}}{2}, \frac{x_{2} + x_{3}}{2}$ ，若 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、 $S_{1}$ 的平均数等于 $S_{2}$ 的平均数 B、 $S_{1}$ 的中位数小于 $S_{2}$ 的中位数 C、 $S_{1}$ 的极差大于 $S_{2}$ 的极差 D、 $S_{1}$ 的方差小于 $S_{2}$ 的方差

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (- 1 - x) = f (- 1 + x), f (1 - x) + f (1 + x) = 0$ ．当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = a x^{3} - 3$ ，则 $f (x)$ 的最大值是（）

A、6 B、3 C、5 D、8

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19、若 $\frac{sin α}{cos β} - \frac{cos (α + 2 β)}{sin β} = 2 sin (α + β)$ ，则（）

A、 $cos (α + β) = 0$ B、 $cos (α - β) = \frac{1}{2}$ C、 $sin (α - β) = \frac{1}{2}$ D、 $sin (α + β) = - \frac{1}{2}$

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20、如图，圆C和 $Rt △ A O B$ 的两条边相切，射线OP绕点O从OA开始逆时针方向旋转至OB，设 $∠ A O P = θ$ ，在旋转过程中，OP扫过的圆内阴影部分的面积为S，则S关于θ的图象可能是（     ）


A、    B、    C、    D、

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