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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $B C ⊥ C D$ ， $∠ A B C = \frac{π}{4}$ ， $C D = C E = \frac{1}{2} B E = 1$ ， $P A = A D = 2$ ， $F$ 为 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $A B ⊥ P E$ ；

(2)、求二面角 $A - E F - D$ 的平面角的余弦值．

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2、已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (2, 1), B (5, 0), C (1, 8)$ .

(1)、求点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离；

(2)、求 $B C$ 边上的高所在直线的方程.

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3、若 $\vec{a} = (2, - 1, 2), \vec{b} = (6, - 3, 2)$ ，且 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ =$ .

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4、直线 $l$ 经过点 $(4, - 3)$ ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线 $l$ 的方程可能是（）

A、 $3 x + 4 y = 0$ B、 $4 x + 3 y = 0$ C、 $x - y - 7 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

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5、直线 $l$ 的方向向量 $\overset{⃑}{s} = (- 1, 1, 1)$ ，平面α的法向量为 $\overset{⃑}{n} = (2, x^{2} + x, - x)$ ，若直线 $l //$ 平面 $α$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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6、已知 $\vec{A B} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{B C} = (- 4, 1, 1)$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $- 7$ B、 $- 6$ C、 $- 5$ D、 $- 4$

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7、已知圆 $C$ 过点 $P (- 1, \sqrt{7})$ ，且与直线 $x + y - 4 = 0$ 相切于点 $A (2, 2)$ ．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若 $M$ 、 $N$ 在圆 $C$ 上，直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率之积为 $- 2$ ，证明：直线 $M N$ 过定点．

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8、 $△ A B C$ 中，顶点 $B (3, 4)$ 、 $C (5, 2)$ ， $A C$ 边所在直线方程为 $x - 4 y + 3 = 0$ ， $A B$ 边上的高所在直线方程为 $2 x + 3 y - 16 = 0$ ．

(1)、求 $A B$ 边所在直线的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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9、求经过点 $(- 2, 0), (- 2, 2)$ 且圆心在直线 $l : x + y = 0$ 上的圆的标准方程为.

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10、已知点A是圆 $P : {(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 上任意一点，点 $Q$ 是直线 $x + y - 5 = 0$ 与 $x$ 轴的交点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、以线段 $A Q$ 为直径的圆周长最小值为 $4 π$ B、 $△ A P Q$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$ C、以线段 $A Q$ 为直径的圆不可能过坐标原点 $O$ D、 $\vec{Q O} \cdot \vec{Q A}$ 的最大值为25

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11、下列四个命题中真命题有（）

A、直线 $y = x - 2$ 在 $y$ 轴上的截距为 $2$ B、经过定点 $A (0, 2)$ 的直线都可以用方程 $y = k x + 2$ 表示 C、直线 $6 x + m y + 4 m - 12 = 0 (m \in R)$ 必过定点 D、已知直线 $3 x + 4 y - 1 = 0$ 与直线 $6 x + m y - 12 = 0$ 平行，则平行线间的距离是 $1$

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12、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（）

A、则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两共面，但 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 不可能共面 B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、对空间任一向量 $\vec{p}$ ，总存在有序实数组 $(x, y, z)$ ，使 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c} + \vec{a}$ 不一定能构成空间的一个基底

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13、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 是 $A C$ 中点，点 $P$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上，若直线 $O P$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\cos θ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{2 \sqrt{2}}{3}]$ B、 $[\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{7}}{3}]$ C、 $[\frac{2 \sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{4}]$ D、 $[\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{13}}{4}]$

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14、若直线 $(3 - m) x + (2 m - 1) y + 7 = 0$ 与直线 $(1 - 2 m) x + (m + 5) y - 6 = 0$ 互相垂直，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 1$ 或 $\frac{1}{2}$ D、1

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15、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (- 1, x, 3)$ ， $\overset{⃑}{b} = (2, - 4, y)$ ，且 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{b}$ ，则 $x + y$ 的值为( )

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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16、已知集合 $A_{n} = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，如果 $A_{n}$ 中的元素 $a_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{1} \times a_{2} \times \dots \times a_{n} - 1$ ，就 $A_{n}$ 称为“完美集”.

(1)、判断集合 $\{3 - \sqrt{2}, 3 \div \sqrt{2}\}$ 是否为“完美集”，并说明理由；

(2)、已知集合 $A_{2} = \{a_{1}, a_{2}\} (0 < a_{1} < a_{2})$ 为“完美集”，求证： $a_{2} > \sqrt{2} + 1$ ；

(3)、是否存在 $A_{n} \subseteq N^{*}$ ，且 $A_{n}$ 为“完美集”？若存在，求出所有这样的 $A_{n}$ ；若不存在，请说明理由.

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17、已知定义域是R的函数 $f (x) = a - \frac{2}{1 + 2^{x}} (a \in R)$ 是奇函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并予以证明；

(3)、设 $t \in (1, 3)$ ，若关于 $t$ 的不等式 $f (2 t^{2} - k t) + f (3 - t^{2}) > 0$ 有解，求实数 $k$ 的取值范围.

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18、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - b x + c > 0$ 的解集为 $M = {x| - 1 < x < 2}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a < 0$ B、不等式 $\frac{b x}{a x - b} \leq 2$ 的解集为 ${x| 1 < x \leq 2}$ C、 $4 a + 2 b + c < 0$ D、函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在 $(- \infty, - \frac{1}{2}]$ 上单调递增

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19、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x + 2, x < 1 \\ \frac{a}{x}, x \geq 1 \end{array}$ 的值域为 $(0, + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）.

A、 $(0, 1]$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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20、若 $M$ 为圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 2$ 上的动点，则点 $M$ 到直线 $x + y - 3 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $3 - \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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