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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x - {cos}^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(\frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{4})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ 上单调递增

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2、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1$ 的两条渐近线与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线分别交于 $P$ ， $Q$ 两点， $B$ 为双曲线的右顶点，且 $△ B P Q$ 为正三角形．设点 $M$ 为抛物线上的动点，点 $M$ 在 $y$ 轴上的投影为点 $N$ ，点 $A (4, 3 \sqrt{5})$ ，则 $|M A| + |M N|$ 的最小值为（）

A、5 B、4 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5} - 2$

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 一条渐近线的斜率为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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4、某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在 $[350, 450]$ 内的学生人数为（）

A、300 B、400 C、600 D、1200

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + (3 a - 4) x - 3, x < 1 \\ a^{x}, x \geq 1 \end{array}$ ，对任意实数 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ 都满足 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[2, 4]$ C、 $[2, 4)$ D、 $(1, + \infty)$

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6、已知集合 $A = \{x | x^{2} < 1\}$ ， $B = \{a\}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $[- 1, 1]$

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F (- 1, 0)$ ， $P$ 是直线 $l : x = - 8$ 右侧区域内的动点， $P$ 到直线 $l$ 与 $y$ 轴的距离之和等于它到点 $F$ 距离的4倍，记点 $P$ 的轨迹为 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程，并在图中画出该曲线；

(2)、直线 $l^{'}$ 过点 $F$ ，与 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，
（i）若 $|A B| = \frac{9}{2}$ ，求直线 $l^{'}$ 的方程：
（ii）若 $|A B| = 4$ ， $T$ 是点 $F$ 关于 $y$ 轴的对称点，延长线段 $A T$ 交 $E$ 于点 $C$ ，延长线段 $B T$ 交 $E$ 于点 $D$ ，直线 $C D$ 交 $x$ 轴于点 $M (m, 0)$ ，求 $m$ 的最小值．

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8、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) + \frac{a x}{x + 1} (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a > 0$ 时，解方程 $f^{'} (x) - f (x) = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - ln \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ．

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9、PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由 $A ， B ， C ， D$ 四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页 $A$ 开始浏览（记为第1次停留）．

(1)、求该用户第3次停留在网页 $D$ 上的概率；

(2)、某广告公司准备在网页 $B ， C$ 中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由．

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10、函数 $f (x)$ 满足：① $f (1) = \frac{2}{5}$ ② $\forall x ， y \in R$ ， $2^{x} f (y) - 2^{y} f (x) \geq (4^{x} - 4^{y}) f (x) f (y)$ ．则 $f (x)$ 的最大值等于．

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11、已知 $A$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 在第一象限上的点， $F$ 是抛物线的焦点， $∠ A F O = 60^{\circ}$ （ $O$ 为坐标原点）则抛物线在 $A$ 处切线的斜率是．

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12、甲乙两人用《哪吒2》动漫卡牌玩游戏．游戏开局时桌上有 $n$ 盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，游戏规则如下：两人轮流抽牌，每人每次只能选择其中一盒并抽走至少一张卡牌，若轮到某人时无卡可抽，则该人输掉游戏．现由甲先抽，则下列开局中，能确保甲有必胜策略的是（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(1, 2, 3)$ C、 $(3, 3, 6)$ D、 $(3, 4, 5)$

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13、一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（）（加工过程中不计损耗）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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14、已知函数 $f (x) = \sin x$ ， $g (x) = cos x$ ，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（）

A、 $y = f (x) - g (x)$ 与 $y = f (x)$ B、 $y = {[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2}$ 与 $y = f (x) g (x)$ C、 $y = f [f (x)]$ 与 $y = f [g (x)]$ D、 $y = f [f (x)]$ 与 $y = g [f (x)]$

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15、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (\sin A, \sin B), \vec{n} = (\cos B, \cos A)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = \sin 2 C$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $\sin A, \sin C, \sin B$ 成等差数列，且 $\vec{C A} \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 18$ ，求 $c$ .

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16、在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备.

(1)、第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是 $\frac{1}{2}$ ，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是 $\frac{1}{2}$ .记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”.
（ⅰ）求小王答对第一组题的概率 $P (A)$ ；
（ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率 $P (B |A)$ .

(2)、小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为 $\frac{1}{2}$ ，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为 ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）：
题号
第1题
第2题
第3题
得分
2分
4分
6分
若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率.

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17、已知 $l, m, n$ 是不同的直线， $α, β, γ$ 是不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m$ $∥$ $α ， n$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $n$ B、若 $m$ $∥$ $α ， α$ $∥$ $β$ ，则 $m$ $∥$ $β$ C、若 $m ， n$ 为异面直线且 $m \subset α ， n \subset β ， α \cap β = l$ ，则 $l$ 与 $m ， n$ 中至少一条相交 D、若 $α ⊥ β ， m ⊥ α ， m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ β$

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18、已知 $f (x)$ 是定义在 $I$ 上的函数，若对任意 $x \in I$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为 $I$ 上的非负函数.

(1)、判断 $f (x) = x - e \ln x$ 是否为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，并说明理由.

(2)、已知 $n$ 为正整数， $g (x) = n x - a \ln x (a > 0)$ 为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，记 $a$ 的最大值为 $a_{n}$ ，证明： $\{a_{n}\}$ 为等差数列.

(3)、已知 $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ，函数 $h (x) = \frac{n^{x}}{x^{n}} (x > 0)$ ，若 $F (x) = h (x) - h (b_{n})$ 为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，证明： $\sum_{n = 2}^{2025} \frac{1}{b_{n}} < {(\ln 2025)}^{2}$ .

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19、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左右两顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过点 $C (1, 0)$ 作斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ 的动直线与椭圆 $E$ 相交于 $M, N$ 两点.当 $k_{1} = 1$ 时，点 $A_{1}$ 到直线 $M N$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设点 $M$ 关于原点的对称点为 $P$ ，设直线 $A_{1} P$ 与直线 $A_{2} N$ 相交于点 $Q$ ，设直线 $O Q$ 的斜率为 $k_{2}$ ，试探究 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.

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20、若关于 $x$ 的方程 $m + e \ln m = \frac{x}{e^{x}} + e (\ln x - x)$ 有解，则实数m的最大值为.

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题号	第1题	第2题	第3题
得分	2分	4分	6分