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相关试卷

1、当一个函数 $f (x)$ 有如下性质：若 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有意义且该区间为 $f (x)$ 的单调区间，并且此时 $f (x)$ 的值域为 $[c, d]$ ，当 $d - c = b - a$ 时，我们就称函数 $f (x)$ 为区间 $[a, b]$ 上的“神奇函数”．请回答下列问题：

(1)、当 $f (x) = 2^{x}$ 时， $f (x)$ 是否是区间 $[0, 1]$ 上的“神奇函数”？若是，请证明；若不是，请说明原因；

(2)、当函数 $f (x) = x^{2}$ 为区间 $[a, b]$ 上的“神奇函数”，求 $a$ 的最小值和 $b$ 的最大值；

(3)、当 $f (x) = x^{2} - m x + m$ 时，存在区间 $[a, b] \subseteq [0, 1]$ ，使得函数 $f (x)$ 为区间 $[a, b]$ 上的“神奇函数”，求 $m$ 的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2^{1 - x}}{2^{x} + 2^{- x}}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、求函数 $f (x)$ 的值域．

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3、已知集合 $A = \{x |- 3 \leq x \leq 2\}$ ，集合 $B = \{x |2 m - 1 \leq x \leq m + 2\}$ ，

(1)、若 $m = 1$ ，求 $(∁_{R} B) \cap A$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求 $m$ 的取值范围．

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4、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ ，满足 $f (0) = 0, f (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{5}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求证： $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上是增函数．

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5、求值：

(1)、 $- 2 \log_{\frac{1}{3}} 2 + \log_{3} \frac{9}{32} + \log_{3} 8$ ；

(2)、若 $x = \log_{a} 2 (a > 0, a \neq 1)$ ，求 $\frac{a^{3 x} + a^{- 3 x}}{a^{x} + a^{- x}}$ ．

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6、函数 $f (x) = |x^{2} - 3 x|$ 的单调递增区间是．

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7、命题 $p :$ “ $\exists x > 0$ ，使得 $x^{2} - 7 x + 12 > 0$ ”的否定为：．

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8、已知 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $x y$ 有最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1}$ 有最小值为 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $(1 + \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{y})$ 有最小值为25 D、 $x^{2} + 4 y^{2}$ 有最小值为 $\frac{1}{2}$

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9、已知函数 $f (x) = 2^{a |x|}$ ，则下列说法正确的有（）

A、存在实数 $a$ 和 $x$ 使得 $f (x) < 0$ B、当实数 $a > 0$ 时 $f (x)$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上单调递增 C、对任意实数 $a$ ，函数 $f (x)$ 的图像恒过定点 $(0, 1)$ D、对任意小于0的实数 $a$ ，方程 $f (x) - \frac{1}{2} = 0$ 都有两实数解

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10、若关于 $x$ 的不等式 $(m - 1) x^{2} - m x + m + 1 > 0$ 在当 $0 \leq m \leq 1$ 时恒成立，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $(- 1, 2)$

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11、已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 - x}$ ，则该函数的值域是（）

A、 $[1, 2 \sqrt{2}]$ B、 $[1, 2]$ C、 $[4, 8]$ D、 $[2, 2 \sqrt{2}]$

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12、关于 $x$ 的一元二次不等式 $a x^{2} + b x - 3 \leq 0$ 的解集为 $x \in [- 1, \frac{3}{2}]$ ，则关于 $x$ 的一元二次不等式 $- 3 x^{2} + b x$ $+ a \leq 0$ 的解集为（）

A、 $x \in [- 1, \frac{3}{2}]$ B、 $x \in (- \infty, - 1] \cup [\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $x \in [- 1, \frac{2}{3}]$ D、 $x \in (- \infty, - 1] \cup [\frac{2}{3}, + \infty)$

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13、下列命题是真命题的是（）

A、 $A = Z, B = Q, f : A$ 中的数取倒数．则从集合 $A$ 到集合 $B$ 的对应关系 $f$ 是函数 B、函数 $y = x - {(x + 1)}^{0}$ 与 $y = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ 是同一个函数 C、任意两个直角三角形都相似 D、当 $x > 0$ 时， $x + \frac{1}{x + 1}$ 有最小值1．

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14、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域是 $[0, 2]$ ，则函数 $y = f (2 x - 2)$ 的定义域是（）

A、 $[- 3, 2]$ B、 $[1, 4]$ C、 $[1, 2]$ D、 $[- 2, 2]$

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15、函数 $f (x)$ 图象的一部分如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式有可能是（）

A、 $y = 2^{x} - 1$ B、 $y = 2^{x - 1}$ C、 $y = 2^{- x} - 1$ D、 $y = 2^{- x - 1}$

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16、已知 $a = 2, b = 7^{\frac{1}{3}}, c = \sqrt{5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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17、集合 $A = \{x |1 < x < 4\}, B = \{x |2 < x < 6\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |2 < x < 4\}$ B、 $\{x |2 < x < 6\}$ C、 $\{x |1 < x < 6\}$ D、 $\{x |4 < x < 6\}$

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{n (n + 1)}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{4 n}{2 n + 1}$ .

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19、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 7 = 0$ 内一点 $P (- 1, 2)$ ，直线 $l$ 过点 $P$ 且与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、求圆 $C$ 的圆心坐标和面积；

(2)、若直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ ，求弦 $A B$ 的长．

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20、已知圆 $M$ 过 $O (0, 0)$ ， $A (8, 0)$ ， $B (0, 6)$ 三点，直线l过点 $P (2, 2)$ .

(1)、求圆M的标准方程；

(2)、直线 $l$ 被圆 $M$ 截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线 $l$ 的方程及最短弦长.

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