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相关试卷

1、 ${(x^{2} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中的常数项为.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，则该函数图象在点 $(\frac{1}{e}, - e)$ 处的切线方程为.

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3、自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ （ $n \geq 3$ ），记 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $T_{n}$ 是数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的前 $n$ 项和，则下列说法正确的是（）

A、 $S_{20} + 1 = a_{21}$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n - 1} = a_{2 n}$ C、 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{30} = a_{31} - 1$ D、若 $T_{n} = a_{2023} \cdot a_{2024}$ ，则 $n = 2023$

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4、记随机事件 $A, B$ 的对立事件分别为 $\bar{A}$ ， $\bar{B}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A |B) = 1$ B、若 $P (B |A) = P (B)$ ，则事件 $A, B$ 相互独立 C、 $P (B |A) + P (\bar{B} |A) = P (A)$ D、若 $P (B) = \frac{2}{3}$ ， $P (\bar{B} |A) = \frac{1}{2}$ ， $P (\bar{B} |\bar{A}) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (A) = \frac{1}{2}$

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5、若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 9 x + 2$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(- 3, 3)$ B、 $x = - 3$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 没有最大值也没有最小值 D、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 在区间 $[0, 6]$ 上有两个零点，则 $a$ 的取值范围为 $(- 16, 2]$

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6、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - e^{1 - x} - 2 x + 5$ ，若 $f (4 a^{2}) + f (a - 1) > 6$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, \frac{3}{4})$ B、 $(- \infty, - \frac{7}{2}) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \frac{7}{2}, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{3}{4}, + \infty)$

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7、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 2$ ， $S_{6} = 12$ ，记 $T_{n}$ 为 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $T_{8} =$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{116}{45}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{232}{5}$

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8、从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（）

A、540 B、180 C、360 D、1080

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9、某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（）

A、 $\frac{20}{27}$ B、 $\frac{12}{27}$ C、 $\frac{8}{27}$ D、 $\frac{4}{27}$

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10、已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表：
$X$
0
1
2
$P$
0.3
$4 a$
$3 a$
若离散型随机变量 $Y = 3 X - 2$ ，则 $Y$ 的方差 $D (Y) =$ （）

A、0.6 B、5.4 C、1 D、3.4

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11、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} a_{3} a_{4} = 8$ ，则 ${log}_{2} a_{1} + {log}_{2} a_{5} =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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12、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ \leq 1) = 0.4$ ，则 $P (2 \leq ξ \leq 3) =$ （）

A、0.6 B、0.2 C、0.1 D、0.4

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13、若 $A_{n}^{2} = C_{n}^{3}$ ，则 $n =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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14、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sqrt{3} c = b (sin A + \sqrt{3} cos A)$ ， $cos (\frac{π}{3} - A) sin (\frac{π}{6} + A) = \frac{3}{4}$ ，则△ABC的形状为（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不确定

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15、已知 $f (x) = x^{2} - 2 a \ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
（ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ） $x_{0}$ 是 $y = f (x)$ 的极值点，求证： $x_{1} + 3 x_{2} > 4 x_{0}$ ．

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16、设 ${(x + 3)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ .

(1)、求 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ；

(2)、若 $a_{5}$ 是 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 中唯一的最大值，求 $n$ 的所有可能取值；

(3)、若 ${(x + 3)}^{n} = b_{0} + b_{1} (x + 2) + b_{2} {(x + 2)}^{2} + \dots + b_{n} {(x + 2)}^{n}$ ，求 $\sum_{r = 1}^{n} \frac{b_{r - 1}}{r}$ .

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17、根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 $y$ （单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量 $x$ （单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示．

(1)、依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请计算相关系数 $r$ ，并说明线性相关性的强弱（相关系数 $r$ 精确到小数点后2位，若 $| r | > 0.75$ ，则线性相关程度很高）；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量 $y$ 约为多少百千克．
附：数据和公式： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 6; \sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 20; \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 2; \sqrt{10} \approx 3.16$ ；回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

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18、若 ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式前三项的二项式系数之和为22．

(1)、求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；

(2)、求展开式中的常数项．

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19、在 $(\frac{x}{2} - y) {(x + y)}^{6}$ 的展开式中，x²y⁵项的系数是.

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20、学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为 $n$ 的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则 $n$ 的值为．

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$X$	0	1	2
$P$	0.3	$4 a$	$3 a$