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相关试卷

1、若复数 $\frac{3 + a i}{1 + i} （ a \in R$ ， i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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2、已知集合 $M = \{x |\frac{1}{2} \leq 2^{x} < 4\} ， N = \{x ∣ x \leq a\} ；$ 若 $a \geq - 1$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $M \cup N = N$ C、 $M \cap N \neq \emptyset$ D、 $M \cap N = \emptyset$

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3、已知点 $O (0 ， 0)$ ， $A (1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，动点 $P$ 到 $B$ 的距离是 $P$ 到 $A$ 点距离的2倍，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的轨迹方程；

(2)、已知动点 $Q$ 在直线 $l : y = 2 x + 2$ 上，过 $Q$ 作曲线 $Γ$ 的两条切线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别切于 $C ， D$ 两点，直线 $l_{3} : y = 2$ 与 $l_{1} ， l_{2}$ 分别交于 $E ， F$ ，连接 $C F ， D E$ 交于 $K$ ．
（i）直线 $C D$ 是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由；
（ii）求 $|O K|$ 的最小值．

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $P A ⊥ P C$ ．

(1)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积 $V$ 的最大值：

(2)、在（1）的条件下，求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $P D = 4$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值的最大值．

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5、在平面直角坐标系中．点 $A (2, 4), B (6, 2)$ ，直线 $l_{1} : x + y - 4 = 0$ ， $l_{2} : (m - 1) x + y + 2 m + 2 = 0 ， m \in R$ ．圆 $C$ 经过 $A ， B$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $l_{1}$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、当直线 $l_{2}$ 与圆 $C$ 相切时，求实数 $m$ 的值．

(3)、若直线 $l_{2}$ 与圆 $C$ 相交于 $D ， E$ 两点，当 $m$ 变化时，是否存在一个定点 $P$ ，使得 $|D P| \cdot |E P|$ 为定值？若存在，求出一个 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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6、如图，在四面体 $D - A B C$ 中， $A B = B C = C D = D A = 5$ ， $A C = 6 ， B D = 4$ ．

(1)、求二面角 $B - A C - D$ 的平面角的大小；

(2)、求异面直线 $A B$ 与 $C D$ 间的距离．

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7、一个不透明的袋子中有五个大小质地都相同的小球，分别标号0，1，2，3，4．从中不放回的依次取出2个球，分别记录球上的数字为 $x, y$ ，记 $\vec{a} = (x, y)$ ，且 $\vec{b} = (2, - 1)$ ．

(1)、求事件“ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ”发生的概率；

(2)、求事件“ $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ”发生的概率．

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8、已知三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ A B C = \frac{3 π}{4} ， ∠ A B D = \frac{π}{4} ， B C = B D$ ，则异面直线 $A B$ 和 $C D$ 所成角余弦值的取值范围是．

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9、已知圆 $O : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，一条过点 $(0, - \sqrt{3})$ 的直线将圆 $O$ 分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线 $x = 6$ 后反射，射出的直线恰好和圆 $O$ 相切，则 $r$ 的值为．

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10、已知直线 $l_{1} : x + a y + 1 = 0, l_{2} : (a - 1) x + 2 y - 2 = 0$ ．若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则实数 $a$ 的值为．

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于直线 $l : a x + b y + c = 0$ 和点 $P_{1} (x_{1}, y_{1}) ， P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，记 $η = (a x_{1} + b y_{1} + c) (a x_{2} + b y_{2} + c)$ ，若 $η < 0$ ，则称点 $P_{1} ， P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔．若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 $P_{1} ， P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线．则下列选项正确的是（）

A、若 $A (1, 2) ， B (- 1, 0)$ 被直线 $x + y - a = 0$ 分隔，则 $- 1 < a < 3$ B、若直线 $y = k x$ 是曲线 $y = x + \frac{1}{x}$ 的分割线，则 $k \leq 1$ C、曲线 $C : x^{4} + y^{4} = 1$ 存在分隔线 D、曲线 $E : x^{4} + x^{2} {(y - 2)}^{2} = 1$ ，有且仅有一条过原点的分隔线

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12、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 6 ， A D = 2 \sqrt{3} ， A A_{1} = 4$ ，空间中的点 $P$ 满足 $\vec{A P} = x \vec{A D} + y \vec{A B} + z \vec{A A_{1}} ， x ， y ， z \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $x = 1$ ，则点 $P$ 在平面 $D C C_{1} D_{1}$ 上 B、若 $y = 1$ ，且 $x + z = 1$ ，则 $A P$ 与面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成角最小值的正切值为 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ C、若 $x + y + z = 1$ ，则 $A P$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{25}$ D、若 $A P = 4$ ，且 $P$ 在长方体表面上，则 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{17}{3} π$

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13、已知事件 $A ， B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{3} ， P (B) = \frac{2}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件 B、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A B) = \frac{1}{3}$ C、若 $P (A B) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (A \overset{⃐}{B}) = \frac{1}{12}$ D、若 $P (A \cup B) = \frac{7}{9}$ ，则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立

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14、已知 $A ， B ， D$ 为圆 $O : x^{2} + y^{2} = 16$ 上的三个点，且 $△ A O B$ 为正三角形，则 $|3 \vec{O D} - \vec{O A}| + |\frac{1}{4} \vec{O D} - \vec{O B}|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{133}$ B、 $5 \sqrt{5}$ C、11 D、 $8 + \sqrt{13}$

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15、已知长方形 $A B C D ， A B = 2 ， A D = 1$ ，将 $△ A C D$ 沿着 $A C$ 折起得到三棱锥 $D - A B C$ ，当点 $D$ 在底面 $A B C$ 的投影恰好落在直线 $A B$ 上时，此时点 $B$ 到面 $A C D$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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16、若点 $P (0, 2)$ 关于直线 $y = k x$ 对称的点 $Q$ 在圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} + 3 = 0$ 上，且 $Q$ 在第一象限内，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{8 - \sqrt{15}}{7}$ D、 $\frac{8 + \sqrt{15}}{7}$

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17、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}, △ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B = A C = A A_{1} = 4$ ，以点 $B$ 为球心、半径为4的球与此直三棱柱表面相交，交线为 $Γ$ ，点 $P$ 为 $Γ$ 上的动点，当 $|P C_{1}|$ 取最小值时，此时 $\vec{B_{1} P} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、16 B、 $16 \sqrt{3}$ C、 $\frac{32 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{32 \sqrt{2}}{3}$

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18、有一个质地均匀的骰子，连续投掷两次， $A$ 表示事件“第一次投掷正面朝上的点数是6”， $B$ 表示事件“第二次投掷正面朝上的点数是5”， $C$ 表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是7”， $D$ 表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是8”，则以下说法正确的是（）

A、 $P (C D) = P (C) \cdot P (D)$ B、 $P (A D) = P (A) \cdot P (D)$ C、 $P (B D) = P (B) \cdot P (D)$ D、 $P (A C) = P (A) \cdot P (C)$

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19、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点，点 $F$ 为棱 $C C_{1}$ 上靠近 $C$ 的三等分点．若 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}} ， x ， y ， z \in R$ ，则 $x + y + z$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{11}{6}$ C、 $\frac{17}{6}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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20、“关于 $x ， y$ 的方程： $x^{2} + y^{2} + m x + 4 y + 8 = 0$ 表示圆”是“ $m > 4$ ”的（）条件

A、必要不充分 B、充要 C、充分不必要 D、既不充分也不必要

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