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相关试卷

1、已知正数a，b，c，d互不相等，若数据a，b，c的方差和数据b，c，d的方差相等，则 $\frac{4 a + 4 d}{a + b + d} + \frac{9 b + 9 c}{a + d + c}$ 的最小值为.

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2、已知函数 $f (x) = {(x - 2)}^{2} (x - 3)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为.

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3、 ${(x^{3} - \frac{2}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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4、已知点 $M (3, 0)$ ， $N (- 3, 0)$ ， $P$ ， $Q$ 是坐标平面上的两个动点，设满足 $|P M| \cdot |P N| = t (t > 0)$ 的点 $P$ 的轨迹为曲线 $C_{1}$ ，满足 $|Q M| + |Q N| = 8$ 的点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C_{2}$ ，则（）

A、 $C_{1}, C_{2}$ 均关于 $x$ 轴对称 B、 $△ Q M N$ 面积的最大值为 $3 \sqrt{3}$ C、当 $t = 10$ 时，点 $P$ 的纵坐标的最大值大于1 D、当 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 有公共点时， $7 \leq t \leq 16$

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5、将曲线 $y = \sin x + 1$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再将得到的曲线向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到曲线 $y = f (x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{4}, 0)$ 对称

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6、我国新能源汽车电驱技术世界领先，新能源汽车主要分为两大类，一种是纯电，一种是混动.某新能源汽车厂科研部对纯电类汽车和混动类汽车都使用的关键部件的某一指标进行测试，经统计纯电类部件的指标X和混动类部件的指标Y都服从正态分布，且 $X ~ N (100, σ_{1}^{2})$ ， $Y ~ N (105, σ_{2}^{2})$ ， $0 < σ_{1} < σ_{2}$ .科研部规定：部件指标高于110的为优质品，部件指标低于90的为不合格品，则（）

A、 $P (X < 100) < P (Y > 105)$ B、X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高” C、混动类部件优质品率高于其不合格品率 D、纯电类部件优质品率高于其不合格品率

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7、若 $\forall x_{1}$ 、 $x_{2} \in (0, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ 都有 $\frac{\ln x_{2} - \ln x_{1}}{x_{2} - x_{1}} > \frac{a}{2} - \frac{1}{6} (x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2})$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, 3]$ C、 $(- \infty, 4]$ D、 $(- \infty, 8]$

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8、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $|\vec{A C}| = 2$ ， $|\vec{C D}| = \sqrt{3}$ ， $∠ A C D = 30^{\circ}$ ， $E$ 为线段 $A C$ 的中点， $\vec{D E} = 2 \vec{E B}$ ，则 $\vec{D A} \cdot \vec{D B} =$ （）

A、3 B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9、已知 $α$ 为第一象限角， $\frac{\tan α}{\tan (α - \frac{π}{4})} = - \frac{3}{2}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{4})$ 的值是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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10、已知前n项和为 $S_{n}$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $- 3$ ， $S_{3} = - 9$ ，则 $a_{4}$ 的所有可能取值之和为（）

A、21 B、20 C、18 D、16

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11、若函数 $f (x) = a^{\sqrt{a x - 3}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在区间 $(4, 6)$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{4}, 1)$ C、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$ D、 $[\frac{1}{2}, 1)$

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12、已知 $(3 - i) (1 - a i)$ 为纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 3$

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13、已知集合 $M = \{x ∣ x^{2} - 6 x - 7 < 0\}$ ， $N = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{- 2\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 2, 1, 2, 3\}$

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14、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)、求该样本的第80百分位数；

(2)、试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；

(3)、该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在 $[60, 80)$ 内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在 $[60, 70)$ 内，另一人成绩在 $[70, 80)$ 内的概率.

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15、为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第 $m$ 天跳绳，则他第 $(m + 1)$ 天跳绳的概率为 $\frac{1}{4}$ ，第 $(m + 2)$ 天跳绳的概率为 $\frac{3}{4}$ ，设他第 $n$ 天跳绳的概率为 $P_{n} (1 \leq n \leq 30, n \in N)$ .

(1)、求 $P_{3}$ ；

(2)、证明 $\{P_{n} - P_{n - 1}\}$ 为等比数列；

(3)、若 $X$ ， $Y$ 都是离散型随机变量，则 $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ ， $E (X \cdot Y) = E (X) \cdot E (Y)$ .记小华前 $n$ 天跳绳的天数为 $X$ ，求 $E (X)$ .

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16、已知函数 $f (x) = \frac{e^{a x}}{x}$ ， $g (x) = ln (x + 2)$ .

(1)、若 $h (x) = \frac{1}{2} x^{2} - g (x)$ ，求 $h (x)$ 的极小值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = 1$ 时，证明： $x f (x) > g (x)$ .

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17、某商场举行回馈客户抽奖活动，已知有三个盒子，每个盒子都装有大小、形状相同的球，其中第一个盒子中有3个红球，3个黄球，2个蓝球；第二个盒子中有5个红球，3个黄球，2个蓝球；第三个盒子中有3个红球，4个黄球，3个蓝球.

(1)、如果一顾客从第一个盒子中随机取出两球，求取到的球一个是红球，一个是蓝球的概率；

(2)、已知顾客随机从三个盒子中的某一个盒子中取出的一个球为红球，求该红球来自第一个盒子的概率；

(3)、顾客随机从三个盒子中取出一个球，抽奖活动规则是取到红球奖励240元代金券，取到黄球奖励480元代金券，取到蓝球奖励720元代金券，设顾客获得代金券的金额为 $X$ 元，求 $X$ 的分布列以及均值.

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18、已知 $S_{n}$ 是正项递增等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} = 4$ ， $S_{3} = 14$ ，记 $T_{n}$ 是正项递增数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $2 T_{n} = b_{n}^{2} + b_{n} - 2$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $P_{n}$ ，若实数 $t P_{n} \leq (n^{2} + 16) \cdot 2^{n}$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围.

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19、某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来 $x$ （ $x = 1, 2, 3, 4, 5$ ）年的增长数据 $y$ （万吨），如下表所示：
$x$
1
2
3
4
5
$y$
26
37
50
64
93

(1)、经探究 $x$ 与 $y$ 之间具有相关关系，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、为了检验 $M$ ， $N$ 两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在 $A$ ， $B$ 两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表：
地区
用M设备
用 $N$ 设备
A
30
20
B
15
35
根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为增收情况与使用 $M$ ， $N$ 两种不同设备有关?
参考公式：① $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
② $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ 为样本容量）.
参考数据：
$α$
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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20、若函数 $f (x) = a e^{2 x} - (2 + 3 a) e^{x} + 3 x$ 在 $(1, 2)$ 上存在单调递减区间，则 $a$ 的取值范围为.

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$α$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$x$	1	2	3	4	5
$y$	26	37	50	64	93

地区	用M设备	用 $N$ 设备
A	30	20
B	15	35