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相关试卷

1、下列说法不正确的是（）

A、在做回归分析时，可以用决定系数 $R^{2}$ 刻画模型的回归效果，若 $R^{2}$ 越大，则说明模型拟合的效果越好 B、若随机变量 $ξ ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ > 5) = 0.2$ ，则 $P (- 1 < ξ < 5) = 0.6$ C、若随机变量 $ξ ~ B (9, \frac{2}{3})$ ，则方差 $D (ξ) = 2$ D、若甲、乙两组数据的相关系数分别为 $- 0.911$ 和0.89，则乙组数据的线性相关性更强

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2、 $(x^{2} + 2) {(\frac{1}{\sqrt{x}} - 1)}^{5}$ 展开式中的常数项为（）

A、3 B、-3 C、7 D、-7

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3、如图，已知四棱锥 $P - A B C E$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C E$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ，且 $A B = 1$ ， $B C = 2, B E = 2 \sqrt{2}$ ，点 $A$ 在平面 $P C E$ 内的射影恰为 $△ P C E$ 的重心 $G$ .

(1)、证明： $B C ⊥ A B$ ；

(2)、求线段 $P A$ 长；

(3)、求直线 $C G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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4、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\frac{\cos A}{\cos C} = - \frac{\sqrt{3} a}{2 b + \sqrt{3} c}$ ，点D是边BC上的一点，且 $\frac{\sin ∠ B A D}{b} + \frac{\sin ∠ C A D}{c} = \frac{3}{2 a}$ ．

(1)、求证： $A D = \frac{a}{3}$ ；

(2)、若 $C D = 2 B D$ ，求 $\cos ∠ A D C$ ．

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5、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 2) x + 2 a \ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 3$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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6、2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展．某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：
观看人次x（万次）
76
82
72
87
93
78
89
66
81
76
销售量y（百件）
80
87
75
86
100
79
93
68
85
77
参考数据： $\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 600, \sum_{i = 1}^{10} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 768, \bar{x} = 80$ ．

(1)、已知观看人次 $x$ 与销售量 $y$ 线性相关，且计算得相关系数 $r = \frac{11 \sqrt{2}}{16}$ ，求回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、规定：观看人次大于等于80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90（百件）为优秀，小于90（百件）为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1．从金牌主播中随机抽取3名，若用 $X$ 表示这3名主播赋分的和，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．
（附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ）

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7、小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有 $X$ 个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且 $P (X = i) = \frac{1}{17}, i = 0, 1, \dots, 16$ .在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为.

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8、已知拋物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在 $C$ 上且位于第一象限，过点 $P$ 作直线垂直于 $C$ 的准线，垂足为 $A$ ，若直线 $A F$ 的倾斜角为 $\frac{5π}{6}$ ，则 $|P F| =$ .

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9、设数列 $\{a_{n}\}$ 是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意 $n \in N_{+}$ ，均有 $a_{n + k} > a_{n}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 是间隔递增数列，k是 $\{a_{n}\}$ 的间隔数．则下列说法正确的是（）

A、公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B、已知 $a_{n} = n + \frac{4}{n}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是间隔递增数列且最小间隔数是4 C、已知 $a_{n} = 2 n + {(- 1)}^{n}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是间隔递增数列且最小间隔数是3 D、已知 $a_{n} = n^{2} - t n + 2021$ ，若 $\{a_{n}\}$ 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 $4 \leq t < 5$

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10、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + x (a \in R)$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数，则 $a \in [- 1, 1]$ B、当 $a > 1$ 时，函数 $f (x)$ 有两个极值 C、当 $a > 1$ 时，函数 $f (x)$ 有三个零点 D、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 恰有两个非零的实数根 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} = 3 a$

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11、已知如图是函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ), (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的部分图象，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{3 π}{2}, 0)$ 中心对称 B、 $f (x)$ 在 $(- 1, 2)$ 单调递增 C、若 $f (x)$ 在 $[0, θ]$ 上的值域为 $[1, 2]$ ，则 $θ$ 的最大值为 $\frac{4π}{3}$ D、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度后为偶函数的图象

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12、过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点 $F$ 的直线与双曲线右支交于 $A, B$ 两点，弦 $A B$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $P$ ，若 $|A B| = |P F|$ ，则该双曲线的离心率 $=$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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13、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} + a_{5} = 20$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、70 B、80 C、120 D、140

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14、已知复数 $z = \frac{2 - i}{1 + 3 i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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15、若复数 $z = 3 - 4 i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{|z|} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$

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16、已知 $f (x) = \ln x - x + \frac{1}{x}$ ， $g (x) = f (x) + x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = e^{n}$ （ $e$ 为自然对数底数），记 $b_{n} = g (a_{n})$ ， $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} b_{2 i - 1}$ （i， $n \in N^{*}$ ）， $T_{n} = \sum_{j = 1}^{n} b_{2 j}$ （j， $n \in N^{*}$ ），证明：当 $n \geq 3$ 时， $e n^{2} + S_{n} > e T_{n}$ ；

(3)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $0 < c_{1} < 1$ ， $c_{n + 1} = g (c_{n})$ ， $n \in N^{*}$ ，证明：对任意的 $n \in N^{*}$ ， $f (\frac{c_{n + 1} - c_{n + 2}}{c_{n + 2} - c_{n + 3}}) < 0$ .

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17、一个不透明的袋子中有n（ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ）个材质、大小完全相同的小球，袋中小球分别编号为1，2，3，…，n.从袋中任意取两个小球，记这两个小球编号的差的绝对值为X，记这两个小球编号中的最大编号为Y.

(1)、当 $n = 6$ 时，
（ⅰ）求 $Y = X + 1$ 的概率；
（ⅱ）求 $E (X)$ ；

(2)、证明： $E (Y) = 2 E (X)$ .
参考公式： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ .

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18、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为 $2$ ，点 $D$ 为线段 $A B$ 上靠近点 $A$ 的三等分点，点 $E$ 、 $F$ 、 $H$ 分别为 $A C$ 、 $C C_{1}$ 、 $B_{1} D$ 的中点.

(1)、求证： $D E //$ 平面 $B F H$ ；

(2)、求直线 $B B_{1}$ 与平面 $B F H$ 所成角的正弦值.

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19、已知点 $A (2, 3)$ ， $B (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 1)$ 为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）上两点.

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若 $P (0, \sqrt{3})$ ，直线l： $y = k x + m$ （ $k m \neq 0$ ）与C交于M，N两点，且 $|P M| = |P N|$ ，求实数m的取值范围.

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20、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = b (\cos C + \sin C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{10}$ ， $a + c = 2 + 3 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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观看人次x（万次）	76	82	72	87	93	78	89	66	81	76
销售量y（百件）	80	87	75	86	100	79	93	68	85	77