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相关试卷

1、莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用 $u (n)$ 作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用所有大于1的正整数n都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式： $n = p_{1}^{r_{1}} p_{2}^{r_{2}} \dots p_{k}^{r_{k}}$ （ $k$ 为 $n$ 的质因数个数， $p_{i}$ 为质数， $r_{i} \geq 1, i = 1, 2, \dots, k)$ ，例如： $60 = 2^{2} \times 3 \times 5$ ，对应 $k = 3, p_{1} = 2, p_{2} = 3, p_{3} = 5, r_{1} = 2$ ， $r_{2} = 1, r_{3} = 1$ ．现对任意 $n \in N^{*}$ ，定义莫比乌斯函数 $μ (n) = \{\begin{array}{l} 1, n = 1 \\ {(- 1)}^{k}, r_{1} = r_{2} = \dots = r_{k} = 1 \\ 0, 存在 r_{i} > 1 \end{array}$ ．

(1)、求 $μ (68), μ (985)$ ；

(2)、已知 $n > 1$ ，记 $n = p_{1}^{r} p_{2}^{r_{2}} \dots p_{k}^{r_{k}}$ （ $k$ 为 $n$ 的质因数个数， $p_{i}$ 为质数， $r_{i} \geq 1, i = 1, 2, \dots, k$ ）的所有因数从小到大依次为 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ ．
（ⅰ）证明： $|μ (a_{1})| + |μ (a_{2})| + \dots + |μ (a_{m})| = 2^{k}$ ；
（ⅱ）求 $\frac{μ (a_{1})}{a_{1}} + \frac{μ (a_{2})}{a_{2}} + \dots + \frac{μ (a_{n})}{a_{n}}$ 的值（用 $P_{i} (i = 1, 2, \dots, k)$ 表示）．

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2、若数列 $\{a_{n}\} (1 \leq n \leq k, n \in N^{*}, k \in N^{*})$ 满足 $a_{n} \in \{0, 1\}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为 $k$ 项 $0 - 1$ 数列，由所有 $k$ 项 $0 - 1$ 数列组成集合 $M_{k}$ ．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 是12项0-1数列，当且仅当 $n = 3 p (p \in N^{*}, p \leq 4)$ 时， $a_{n} = 0$ ，求数列 $\{{(- 1)}^{n} a_{n}\}$ 的所有项的和；

(2)、从集合 $M_{k}$ 中任意取出两个数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ ，记 $X = \sum_{i = 1}^{k} |a_{i} - b_{i}|$ ．
①求随机变量 $X$ 的分布列，并证明： $E (X) > \frac{k}{2}$ ；
②若用某软件产生 $k (k \geq 2)$ 项 $0 - 1$ 数列，记事件 $A =$ “第一次产生数字1”， $B =$ “第二次产生数字1”，且 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1$ ．若 $P (B |A) < P (B |\bar{A})$ ，比较 $P (A |B)$ 与 $P (A |\bar{B})$ 的大小．

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3、已知椭圆 $C$ 的焦点在 $x$ 轴上，长轴长与短轴长的比为 $2 : 1$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ . $P$ 为椭圆上任意一点，过点 $P$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线 $P A$ 、 $P B$ ， $A, B$ 分别为切点，直线 $A B$ 分别与 $x$ 、 $y$ 轴交于 $M$ 、 $N$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求 $△ M O N$ 面积的最小值；

(3)、过点 $Q (0, 1)$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与椭圆 $C$ 相交于不同于点 $Q$ 的 $D$ ， $E$ 两点，若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率之和为 $- 2$ ，直线 $D E$ 是否经过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过定点请说明理由.

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ D C$ ， $P A = P D = P B = 2 \sqrt{5}$ ， $B C = D C = \frac{1}{2} A D = 2$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点．

(1)、求证： $P E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 的夹角的正弦值；

(3)、记 $B C$ 的中点为 $M$ ，若 $N$ 在线段 $P E$ 上，且直线 $M N$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{18}$ ，求线段 $E N$ 的长．

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5、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，由下列四个条件中选出三个：
①最大值为2； ②最小正周期为 $2 π$ ；
③ $f (0) = - 2$ ； ④ $f (- \frac{π}{6}) = 0$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及单调递减区间；

(2)、设 $g (x) = f (x) f (x - \frac{π}{6})$ ．当 $x \in [0, m]$ 时， $g (x)$ 的值域为 $[0, 2 + \sqrt{3}]$ ，求 $m$ 的取值范围．

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6、已知 $0 < a < b < c < 1$ ，且 $3 b \geq 4 a$ ，则 $\max \{b - a, c - b, 1 - c\}$ 的最小值是.

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7、已知 $⊙ C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : x = 2, O$ 为原点，点 $P$ 在 $⊙ C$ 上，直线 $O P$ 与 $l$ 交于点 $Q, R$ 在直线 $O P$ 上，且 $\vec{P Q} = \vec{O R}$ ，点 $R$ 的轨迹为史留斯蚌线，记为曲线 $E$ ，其中 $l$ 是 $E$ 的渐近线，如图所示．设 $M (x_{0}, y_{0})$ 是 $E$ 上一点，则（）

A、 $- 2 \leq x_{0} < 2$ B、存在异于原点 $O$ 的点 $M$ ，使得 $M$ 关于点 $O$ 的对称点仍在 $E$ 上 C、若 $M$ 在第二象限，则 $y_{0}$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若 $M$ 在第一象限，则直线 $O M$ 的斜率大于 $e^{\frac{x_{0}}{2}}$

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8、 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如： $[- 0.5] = - 1, [1.1] = 1$ ，已知函数 $f (x) = [x]$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $x \in (0, 1)$ ，则 $f (- x) + \frac{1}{4} < - [f (x) + \frac{1}{4}]$ B、 $\forall x, y \in R, f (x + y) < f (x) + f (y)$ C、函数 $y = [x], x \in R$ 的图象不关于原点对称 D、设方程 $[|x - 1|] = 3$ 的解集为 $A$ ，集合 $B = \{x |2 x^{2} - 11 k x + 15 k^{2} \geq 0\}$ ，若 $A \cup B = R$ ，则 $k \in [- 1, - \frac{4}{5}] \cup \{0\} \cup [\frac{8}{5}, \frac{5}{3}]$

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9、如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、这两个球体的半径之和的最大值为 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ B、这两个球体的半径之和的最大值为 $\frac{4}{3}$ C、这两个球体的表面积之和的最大值为 $(6 + 3 \sqrt{3}) π$ D、这两个球体的表面积之和的最大值为 $\frac{10π}{9}$

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10、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = \sqrt{3}$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $b^{2} + 2 c^{2}$ 的最大值为（）

A、 $9$ B、 $6 + 2 \sqrt{3}$ C、 $9 + \sqrt{3}$ D、 $12$

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11、已知 $sin (α + β) = 2 cos (α - β), tan α + tan β = \frac{4}{3}$ ，则 $tan α \cdot tan β =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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12、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{3}}{S_{6}} = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{S_{12}}{S_{3} + S_{6}} =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、8 C、9 D、16

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13、已知： $p : \frac{1}{x - 2} \geq 1, q : {log}_{2} (x - a) \geq 1$ ．若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 1]$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 1]$

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14、已知复数 $z$ 满足 $z (2 + i^{7}) = - 3 i + 4$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为R ，且对任意 $a, b \in R$ ，都有 $f (a + b) = f (a) + f (b)$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ 恒成立．

(1)、判定并证明函数 $y = f (x)$ 在R上的单调性；

(2)、讨论函数 $y = f (x)$ 的奇偶性；

(3)、若 $f (x^{2} - 2) + f (x) < 0$ ，求x的取值范围．

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16、已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ ，满足 $f (0) = f (1) = 1$ .

(1)、求 $b, c$ 值；

(2)、在 $[- 1, 1]$ 上，函数 $f (x)$ 的图象总在一次函数 $y = 2 x + m$ 的图象的上方，试确定实数m的取值范围；

(3)、设当 $x \in [t, t + 2] (t \in R)$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $g (t)$ ，求 $g (t)$ 的解析式.

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17、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 4} (a, b \in R)$ ，且 $f (1) = \frac{1}{5}, f (2) = \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上的单调性，并根据定义证明.

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18、已知 $f (x) = a x^{5} + b x^{3} + c x - 16$ ，且 $f (- 2) = 10$ ，则 $f (2) =$ ．

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19、函数 $f (x) = x - 4 \sqrt{x} + m,$ 当 $0 \leq x \leq 9$ 时， $f (x) \geq 1$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为

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20、函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是．

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